Obraz i jądro przekształcenia liniowego...

[Finarfin]

Mam takie zadanie:
Dla przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f : R^3 -> R^2}\) określonego wzorem:
\(\displaystyle{ f (x) = [x_1 , x_2 + x_3 ], x = [x_1 , x_2 , x_3 ],}\)
wyznacz obraz Im(f ) i jądro ker(f ) oraz sprawdź, że
\(\displaystyle{ dim R^3 = dim Im(f ) + dim ker(f )}\)


Może ktoś to rozwiązać? Bo nie wiem czy dobrze robię.

Podstawiam sobie, że wychodzi mi, iż x2 jest zależne od x3, a x1 jest dowolone, stąd obraz mi wychodzi:
Ker(f)=Lin{(0,1,-1),(1,0,0)}

Niestety nie weim co z obrazem...

[Lukasz_C747]

Ker(f)
(x1, x2+x3)=0
x1=0 i x2+x3=0
x1=0 i x3=-x2
(jak widać x1 nie jest dowolne, a równe zeru)

Stąd Ker(f)=Lin{(0,1,-1)} i dim Ker(f)=1

Im(f) = { (x1, x2+x3): x1,x2,x3 należą do R} = { x1(1,0)+x2(0,1)+x3(0,1): x1,x2,x3 należą do R}

Stąd Im(f)=Lin{(1,0),(0,1)} i dim Im(f)=2

Ponieważ dim R^3=3 wszystko się zgadza.

Przepraszam za brak Latexa, ale późno jest

[Finarfin]

Lukasz_C747, dzięki wielkie mistrzu...ale powiedz mi jeszcze, bo ja robiłem tak, że dla wyznaczania obrazu robię tak:
f(x)=[x1,x2+x3]
A wiec
�=x1
λ=x2+x3

Stąd mi wychodzi liniowa niezależność bo ta kombinacja wygląda tak:
[�,λ]

Stą�:
Im(f)=Lin{(1,0),(0,1)}


Wyniki się pokrywają, ale chciałym wiedzieć, czy ten sposób w którym ja rozwiązuję jest dobry...

[Lukasz_C747]

Hmmm, nie do końca rozumiem jakie przekształcenia wykonujesz.