Współrzędne kartezjańskie

[PLrc]

Nigdy w życiu nie widziałem definicji współrzędnych kartezjańskich. Mi do głowy przychodzi tylko taka definicja: współrzędne kartezjańskie, to współrzędne afiniczne w układzie współrzędnych afinicznych \(\displaystyle{ (\mathrm{O},\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n)}\), takim że iloczyny skalarne wektorów bazowych wynoszą 1 lub 0: \(\displaystyle{ \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j=\delta_{ij}}\) Czy da się zdefiniować współrzędne kartezjańskie bez iloczynu skalarnego:
a) na płaszczyźnie
b) w abstrakcyjnej n-wymiarowej przestrzeni afinicznej?

[SlotaWoj]

Da się. René Descartes zwany Kartezjuszem to zrobił.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich

. Iloczyn skalarny wymyślono trochę później.

[PLrc]

W artykule tym jest napisane:

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
a) punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą \(\displaystyle{ O}\) lub cyfra \(\displaystyle{ 0}\).
b) zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych

Jak zdefiniować prostopadłość osi bez iloczynu skalarnego?

[SlotaWoj]

Przez miarę kąta prostego między osiami, jako jednej czwartej kąta pełnego \(\displaystyle{ 2\pi}\).
Iloczyn skalarny zdefiniowano później w układzie kartezjańskim, aby było możliwa kontrola prostopadłości bez odwoływania się do miary kąta i pełni on tę samo funkcję ci twierdzenie Pitagorasa.

[PLrc]

Przez miarę kąta prostego między osiami, jako jednej czwartej kąta pełnego \(\displaystyle{ 2\pi}\).

Ale miara kąta jest zdefiniowana jako długość łuku : długość promienia. Jak zmierzyć jedno i drugie? Jak mamy iloczyn skalarny i tensor metryczny, to wtedy prosto: mamy \(\displaystyle{ ds^2=\sum_{j=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij}dx^idx^j}\) i całkujemy. A jak to zrobić bez iloczynu skalarnego i tensora metrycznego?

[SlotaWoj]

Pitagoras i Euklides nie mieli problemów z kątem prostym. Patrz: konstrukcja prostej prostopadłej do innej prostej.

[PLrc]

Ale definicja to jedno, a konstrukcja to drugie. A nawet jeżeli za definicję prostych prostopadłych przyjąć to co ta pani rysuje na tablicy na tym filmiku:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=jd9el407IKI

to da się to wykonać tylko na płaszczyźnie. W abstrakcyjnej n-wymiarowej przestrzeni afinicznej już się nie da...

[AiDi]

Pitagoras i Euklides nie mieli problemów z kątem prostym.

Ale to o niczym nie świadczy. Pytanie dotyczyło przestrzeni afinicznych, i na tyle na ile mnie uczono przez lata, bez iloczynu skalarnego prostopadłości zdefiniować się nie da. To co piszesz:

Przez miarę kąta prostego między osiami, jako jednej czwartej kąta pełnego \(\displaystyle{ 2\pi}\).

korzysta z pojęcia kąta. Jak zdefiniujesz kąt w przestrzeni afinicznej? Ogólniej w geometrii różniczkowej: by móc mówić o długościach krzywych, czy kątach musimy mieć zadaną strukturę riemannowską - tensor metryczny (względnie pseudoriemannowską np. w czasoprzestrzeni teorii względności).

mamy \(\displaystyle{ ds^2=\sum_{j=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij}dx^idx^j}\)

Choć jestem fizykiem i notacja stosowana przez Ciebie jest czysto fizyczna, to boli mnie jak na to patrzę
\(\displaystyle{ g=\sum_i\sum_j g_{ij} \mbox{d}x ^i\otimes \mbox{d}x ^j}\)
I już lepiej. To się da ładnie dostosować do całkowania.

[SlotaWoj]

@AiDi
Tylko drugie pytanie postawione na końcu dotyczyło n-wymiarowych przestrzeni afinicznych.
Na płaszczyźnie i w klasycznej przestrzeni trójwymiarowej (euklidesowej) można obyć się bez iloczynu skalarnego przy definiowaniu współrzędnych kartezjańskich i tak niegdyś zrobiono.
Kto wie, czy termin układ współrzędnych kartezjańskich nie jest zarezerwowany dla ww. przestrzeni, a dla przestrzeni od 4-wymiarowych wzwyż powinno używać się tylko terminu układ współrzędnych ortogonalnych.

[PLrc]

Wybaczcie, że dopiero teraz pisze, ale już przestałem zaglądać do tego wątku ;/

mamy \(\displaystyle{ ds^2=\sum_{j=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij}dx^idx^j}\)

Choć jestem fizykiem i notacja stosowana przez Ciebie jest czysto fizyczna, to boli mnie jak na to patrzę
\(\displaystyle{ g=\sum_i\sum_j g_{ij} \mbox{d}x ^i\otimes \mbox{d}x ^j}\)
I już lepiej. To się da ładnie dostosować do całkowania.

A nie powinno być \(\displaystyle{ g=\sum_i\sum_j g_{ij} \mbox{d}x ^i \wedge \mbox{d}x ^j}\) jak już? Może w przypadku różniczek iloczyn tensorowy i zewnętrzny to to samo, nie wiem, jeszcze nie uczyłem się o formach różniczkowych. Chciałbym w przyszłości wejść dogłębnie w ten temat.

Wiecie do jakich wniosków doszedłem? Ze nie da się w abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej zdefiniować współrzędnych kartezjańskich w ogólnym przypadku bez iloczynu skalarnego, ale można to zrobić w poszczególnych przypadkach, np. możemy powiedzieć:

układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni afinicznej, w której przestrzenią liniową jest \(\displaystyle{ \mathbb{V}=\mathbb{R}^3}\) a zbiorem punktów jest \(\displaystyle{ \mathbb{A}=\mathbb{R}^3}\) nazywamy układ współrzędnych afinicznych \(\displaystyle{ (O,e_1,e_2,e_3)}\) w którym \(\displaystyle{ O:=(0,0,0), \ e_1:=(1,0,0), \ e_2:=(0,1,0), \ e_3:=(0,0,1)}\)

W przestrzeni afinicznej, w której \(\displaystyle{ \mathbb{V}=\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R})}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{A}=\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R})}\) możemy powiedzieć,

Współrzędnymi kartezjańskimi nazywamy współrzędne wyznaczone przez układ: \(\displaystyle{ (O,e_1,e_2,e_3,e_4)}\) w którym: \(\displaystyle{ O:= \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}, \ e_1:=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}, \ e_2:=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}, \ e_3:=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix}, \ e_4:=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix}}\)

itd. itd. Problem w tym, że normalnie układ współrzędnych kartezjańskich możemy obrócić o jakiś kat i dalej go nazywamy kartezjańskim układem współrzędnych, a moja definicja wskazuje tylko ten jeden, szczególny (nieobrócony) układ współrzędnych kartezjańskich Ale jest to jakaś, ścisła definicja.

Ten temat zacząłem dlatego, że niektórzy autorzy, np. Synge i Schild w swoich Rachunku tensorowym definiują tensor metryczny za pomocą transformacji współrzędnych: za pomocą przejścia od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych krzywoliniowych. Taka definicja tensora metrycznego została przedstawiona m.in. w tym artykule na Wikipedii:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Tensor_metryczny

I dopiero mając tensor metryczny definiują takie rzeczy jak iloczyn skalarny wektorów, dlugość wektorów, kąt pomiędzy wektorami. I ja czytając to zastanawiałem się, czy oni nie definiują w ukryty sposób obiektów za pomocą obiektów definiowanych.

-- 19 sie 2015, o 18:02 --

@AiDiNa płaszczyźnie i w klasycznej przestrzeni trójwymiarowej (euklidesowej) można obyć się bez iloczynu skalarnego przy definiowaniu współrzędnych kartezjańskich i tak niegdyś zrobiono.

Nie doczytałem. Widzę, że napisałem to samo co Ty, tylko że ja to dokładniej opisałem.

[AiDi]

Może w przypadku różniczek iloczyn tensorowy i zewnętrzny to to samo

Nie nie, iloczyn zewnętrzny to całkowicie antysymetryzowany iloczyn tensorowy:
\(\displaystyle{ dx\wedge dy =dx\otimes dy-dy\otimes dx}\)
z dokładnością do czynnika liczbowego, który jest kwestią konwencji. Tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, więc nie może tam być iloczynu zewnętrznego. To co napisałeś to dwuforma.