Jądro odwzorowania liniowego. Ważniak UW.

[KotwButach]

Mamy odwzorowanie liniowe f \(\displaystyle{ R ^{3} \rightarrow R ^{2}}\) i wektory \(\displaystyle{ v= \left( 0,-1,1 \right)}\) i \(\displaystyle{ w= \left( 1,0,1 \right)}\), które generują przestrzeń \(\displaystyle{ U}\). Chcemy, aby \(\displaystyle{ \ker f=U}\).

Dzieje się tak wtedy, gdy \(\displaystyle{ f \left( v \right) =f \left( w \right) = \left( 0,0 \right)}\). (ZADANIE 4.9 ... ia_liniowe )


I tu pojawia się moje pytanie, dlaczego? Czy to nie za mało? Czy nie powinno być \(\displaystyle{ f \left( \alpha v+ \beta w \right) = \left( 0,0 \right)}\)? Przecież pojedynczo wektory \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\) nie generują przestrzeni \(\displaystyle{ U}\).

[Premislav]

Mamy w zadaniu przekształcenie liniowe f, a więc z liniowości dostajemy
\(\displaystyle{ f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)=}\)...
A skoro \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ U}\), to każdy wektor z \(\displaystyle{ U}\) jest postaci \(\displaystyle{ \alpha u+\beta v}\) dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).-- 1 sie 2015, o 21:08 --Oj, dobra tam, masz \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\) zamiast \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), napisało mi się z przyzwyczajenia, ale to tylko oznaczenia...

[KotwButach]

Dzięki za odpowiedź.

Pomyślałem o tym, ale przecież może być, że \(\displaystyle{ \alpha f(v)=- \beta f(w) \neq (0,0)}\).

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ f(v)\neq (0,0)}\) lub \(\displaystyle{ f(w)\neq(0,0)}\), to \(\displaystyle{ lin\left\{ v,w\right\}}\) nie może być jądrem przekształcenia \(\displaystyle{ f}\), gdyż np. (zakładając, że \(\displaystyle{ f(v)\neq(0,0)}\)) \(\displaystyle{ v \in lin\left\{ v,w\right\}}\)
i \(\displaystyle{ f(v)\neq(0,0)}\)
A skoro miałbyś dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) własność
\(\displaystyle{ \alpha f(v)=-\beta f(w)\neq (0,0)}\)
to byłoby oczywiście zarówno \(\displaystyle{ f(v)\neq(0,0)}\), jak i \(\displaystyle{ f(w)\neq (0,0)}\)

[Medea 2]

Można to wprost uzasadnić: powłoka liniowa wektorów \(\displaystyle{ v, w}\) zawiera między innymi wektory \(\displaystyle{ v, w}\), więc jeśli jeden z nich nie przejdzie na zero (przez \(\displaystyle{ f}\)), to powłoka nie może być jądrem (bo definicja jądra jest taka, że to przeciwobraz zera). No i warto pamiętać, że skalary są z ciała, czyli nie mogą być dzielnikami zera.