Indukowanie strukty przestrzenii liniowej przez bijekcję

[PLrc]

Co to oznacza, że bijekcja (powiedzmy: \(\displaystyle{ \Theta}\)) indukuje w jakimś zbiorze (powiedzmy: \(\displaystyle{ M}\)), strukturę przestrzeni liniowej (powiedzmy: \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\))?

[Medea 2]

Jeżeli masz bijekcję \(\displaystyle{ f \colon \RR^2 \to X}\), to w \(\displaystyle{ X}\) można określić strukturę przestrzeni liniowej: na przykład dodawanie wektorów określa wzór

\(\displaystyle{ x_1 + x_2 = f(f^{-1}(x_1)) + f(f^{-1}(x_2)) = f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2)).}\)

[PLrc]

A dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ f}\) jest addytywną funkcją?

Rozumiem, że Ty dodawanie wektorów w \(\displaystyle{ X}\) definiujesz równością:
\(\displaystyle{ x_1+x_2:=f(f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2))}\)??

W takim razie chyba równoważną definicją jest (stosując Twoje oznaczenia):
\(\displaystyle{ x_1+x_2=x_3 \ \Leftrightarrow \ f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2)=f^{-1}(x_3)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ f^{-1}: X \rightarrow \mathbb{R}^2}\)
mam rację?

Czyli \(\displaystyle{ f^{-1}:\ X \rightarrow \mathbb{R}^k}\) żeby indukować przestrzeń liniową w \(\displaystyle{ X}\) musi być nie tylko bijekcją, ale i funkcją liniową?

[Zordon]

Skoro na \(\displaystyle{ X}\) nie ma struktury liniowej to jak możesz mówić o liniowości funkcji?
Wystarczy, że jest bijekcją.

[PLrc]

Skoro na \(\displaystyle{ X}\) nie ma struktury liniowej to jak możesz mówić o liniowości funkcji?

Ale co ma piernik do wiatraka?

Wystarczy, że jest bijekcją.

Ale z równości \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x_1)) + f(f^{-1}(x_2)) = f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2))}\), którą napisała Medea wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest addytywne, a przecież nie każda bijekcja jest funkcji addytywną, prawda?

[Medea 2]

Pierwsza równość jest zwykłą równością (bo skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to \(\displaystyle{ f \circ f^{-1} = \textrm{Id}_X}\)), zaś druga jest definicją lewej stony (właściwie powinnam więc napisać \(\displaystyle{ \ldots := \ldots}\)).

A dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ f}\) jest addytywną funkcją?

Rozumiem, że Ty dodawanie wektorów w \(\displaystyle{ X}\) definiujesz równością:
\(\displaystyle{ x_1+x_2:=f(f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2))}\)??

Dokładnie, bo na początku nie ma tam wcale dodawania i trzeba je jakoś określić.

[a4karo]

Wystarczy, że jest bijekcją.

Ale z równości \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x_1)) + f(f^{-1}(x_2)) = f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2))}\), którą napisała Medea wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest addytywne, a przecież nie każda bijekcja jest funkcji addytywną, prawda?[/quote]


Ale zauważ, że Medea w ten sposób zdefiniowałą DZIAŁANIE z \(\displaystyle{ X}\), a nie funkcję. Funkcją była rzeczą pierwotną. Dopeiro przy tak określonym DODAWANIU funkcja stała się addytywną.

[PLrc]

Dobrze, a co sądzicie o mojej definicji dodawania w \(\displaystyle{ X}\):

Sumą \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) nazywamy taki wektor \(\displaystyle{ x_3 \in X}\), że: \(\displaystyle{ f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2)=f^{-1}(x_3)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ f^{-1}: X \rightarrow \mathbb{R}^2}\) jest bijekcją.

Z tego można wyprowadzić te równości, które napisała Medea. W odwrotną stronę pewnie też się da udowodnić implikację, więc te definicje są chyba sobie równoważne?

[a4karo]

Wróćmy do początku:
masz przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) i bijekcję \(\displaystyle{ f:V\to X}\). Stwierdzenie, że \(\displaystyle{ f}\) indukujestrukture przestrzeni liniowej w \(\displaystyle{ X}\) oznacza, że przy użyciu \(\displaystyle{ f}\) można na \(\displaystyle{ X}\) określić strukturę przestrzeni liniowej (czyli dodawanie i mnożenie przez skalar). Sposób na zdefiniowanie dodawania pokazała Mede. Pomyśl jak okreslic mnożenie prze skalar?

Zauważ, że na \(\displaystyle{ X}\) może istnieć inna struktura przestrzeni wektorowej.
Na przykład istnieje bijekcja \(\displaystyle{ b:\RR^2\to\RR^3}\), ale generowane przez nią dodawanie w \(\displaystyle{ \RR^3}\) wcale nie przypomina znanego nam dodawania wektorów.

[PLrc]

No ja bym dodawanie wektorów w \(\displaystyle{ X}\) w którym została określona bijekcja \(\displaystyle{ f^{-1}:\ X\rightarrow \mathbb{R}^n}\) zdefiniował następująco:

Sumą \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) nazywamy taki wektor \(\displaystyle{ x_3 \in X}\), że: \(\displaystyle{ f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2)=f^{-1}(x_3)}\)

a mnożenie przez skalar następująco:

\(\displaystyle{ \alpha \cdot x:=y \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot f^{-1}(x)=f^{-1}(y)}\) (mnożenie w drugiej równości to jest mnożenie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)
Jest ok?

[a4karo]

Sumą \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) nazywamy taki wektor \(\displaystyle{ x_3 \in X}\), że: \(\displaystyle{ f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2)=f^{-1}(x_3)}\)

Powinieneś wskazać ten wektor. Jak powiesz: "taki wektor, że...", to musisz dodatkowo pokazać, że po pierwsze takie cos istnieje, a po drugie, że jest jedyne. Oczywiście wynika to z własności bijekcji, ale dlatego definicja
\(\displaystyle{ x_1\oplus x_2=f(f^{-1}(x_1)+f^{-1}(x_2))}\) jest czytelniejsza.

[Zordon]

Skoro na \(\displaystyle{ X}\) nie ma struktury liniowej to jak możesz mówić o liniowości funkcji?

Ale co ma piernik do wiatraka?

Zastanów się.

edit: albo dam wskazówkę:
rozważmy \(\displaystyle{ X}\) - zbiór pokemonów. \(\displaystyle{ f:X\to \RR}\) dana jest przez
\(\displaystyle{ f(p) = \mbox{masa pokemona }p}\)
Czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest addytywna?
Czy to pytanie ma sens?
A teraz wróć do mojego komentarza powyżej i skonfrontuj.

[PLrc]

Chyba dobrze zdefiniowałem działania dodawania i mnożenia przez skalar, bo opierając się na takich definicjach udowodniłem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) są izomorficzne, w myśl definicji z tego artykułu: wiki tak jak powinno być.

[a4karo]

Jeżeli zdefiniowałes działania tak, jak opisałęś w swoim poście z 31.07 19:59, to pokazełem Ci, że te definicje są ułomne: trzeba do nich pokazac istnienie i jedyność (przy dodawaniu jest to łątwe, przy mnożeniu troszkę sie trzeba napracować)

Gdybyś zdefiniował \(\displaystyle{ \lambda\odot x= f(\lambda f^{-1}(x))}\) to uniknąłbyś dodatkowej pracy.


A owo "indukowanie struktury" oznacza ni mniej ni więcej jak tylko to, że obekty te są izomorficzne i izomorfizmem jest \(\displaystyle{ f}\).