Wyznacznik, a jego interpretacja

[lol22]

Witam, mam pytanie odnośnie wyznacznika macierzy. Czytam teraz trochę na temat przekształceń liniowych i jak wiadomo do ich prezentacji idealnie nadają się macierze przekształcenia liniowego oraz mnożenie ich przez jedno-kolumnowe macierze (wektory). Przeczytałem również, iż jeśli przekształcenie jest pomiędzy przestrzeniami o tej samej ilości wymiarów, to macierz przekształcenia liniowego jest kwadratowa, czyli ma wyznacznik. Co do samego wyznacznika - wiem, że jest to liczba, którą w przypadku przekształceń liniowych można zinterpretować jako informację o tym jakie pole ma np obraz kwadratu/sześcianu jednostkowego (dla przestrzeni dwu i trzy wymiarowych). Problem tkwi w tym, że pomimo przeczytania zarówno definicji permutacyjnej, jak i rekurencyjnej nie widzę w jaki sposób podczas obliczania wyznacznika, uzyskujemy taką informację. Bardzo proszę o pomoc i ewentualne podanie jakiegoś przykładu.

[szw1710]

Interpretacja z polem/objętością itp. nie jest trywialna. Np. dowodzi się tego w książce Łojasiewicza Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Dokładniej, moduł wyznacznika jest miarą obrazu obszaru o mierze jednostkowej. Sam wyznacznik może być przecież ujemny. Owszem, z definicji jakie przytaczasz, nie wyczytasz takich rzeczy. Jednym jest wyznacznik, a czym innym jego związek z odwzorowaniem liniowym. Sam wyznacznik obie definicje wprowadzają jako funkcję. Podają nawet przepis na jego obliczenie.

[lol22]

W takim razie poszukam tej książki w bibliotece i postaram się lepiej zgłębić ten temat. Niemniej jednak chciałbym prosić o jakiś trop/wskazówkę, a może i nawet link, który wskaże mi ten właśnie związek (miedzy wyznacznikiem, a miara pola odwzorowania). Interesuje mnie ten temat szczególnie dlatego, że na wikipedii doczytałem się, iż zarówno wyznacznik, jak i same macierze (ogółem teoria macierzy) wyrosła na gruncie rozważań przekształcenia liniowego, a co więcej - interpretacje równań liniowych, macierz jakobiego itp są zakorzenione wlasnie w interpretowaniu macierzy jako przekształcenia liniowego

[AiDi]

Np. dowodzi się tego w książce Łojasiewicza Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych.

A można wiedzieć mniej więcej gdzie? Bo mam taką wersję, że nie mogę znaleźć

[szw1710]

Taki drobny paragraf: Pewna charakteryzacja modułu wyznacznika. Mniej więcej w środku. Str. 114.-- 13 lip 2015, o 21:11 --lol22, np. algorytm mnożenia macierzy jest taki dziwny właśnie dlatego, że wynika ze sposobu składania odwzorowań liniowych. Można by spytać, dlaczego nie mnożymy macierzy tak samo jak dodajemy? Owszem, można to wprowadzić, ale takie pojmowanie mnożenia nie ma głębszego sensu matematycznego. Tak więc racją jest, że macierze wyrosły z odwzorowań liniowych, ale stąd nie wydedukujesz np. tej własności, o której mówimy. Miara to też inna sprawa.

[Medea 2]

Matematycznego nie, ale informatyczne zastosowania się podobnież znalazły:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_product_%28matrices%29#Applications

[szw1710]

Takie pojęcie mnożenia jest też użyteczne w statystyce. Np. w R wariancję z populacji (dla wektora \(\displaystyle{ x}\)) realizujemy prostą komendą: mean((x-mean(x))^2).

[lol22]

Dzięki za odpowiedzi. Abstrachujac jednak troche od tematu, chciałbym zapytac jaka/kie ksiazke/zki mozecie polecic osobie, ktora (jak ja) matematyka zajmuje się tylko amatorsko, jednak ma wielkie checi zglebic dokladnie analize oraz algebre? Najlepiej, jesli materiał zawarty w ksiazkach rozciaga sie od podstaw do tego, co mozna nazwac juz analiza wyzsza.

[szw1710]

Analiza: Rudnicki Wykłady z analizy matematycznej. Algebra liniowa - pójdę nie po linii polecając Ci LInear algebra in action Harry'ego Dyma. Książka pokazuje ładne zastosowania tego przedmiotu, np. w analizie, także w innych działach matematyki. Podstawowy podręcznik - dla mnie dobry był Gleichgewicht Algebra.