Bazy przestrzeni liniowych

[Ponury123]

Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych
\(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x-z+t, -x-y-2z, 3x-2y+z-5t\right): x,y,z,t \in R \right\}}\)

robiłem to tak
\(\displaystyle{ \left( x-z+t, -x-y-2z, 3x-2y+z-5t\right) =x\left( 1,-1,3\right) +y\left( 0,-1,-2\right) +z\left( -1,-2,1\right) + t\left( 1,0,-5\right)}\)
wektory \(\displaystyle{ v_{1}=\left( 1,-1,3\right), v_{2}=\left( 0,-1,-2\right), v_{3}=\left( -1,-2,1\right), v_{4}=\left( 1,0,-5\right)}\) generują przestrzeń U.

Sprawdzam ich liniową niezależność
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x-z+t=0\\
-x-y-2z=0\\
3x-2y+z-5t=0\\
\end{cases}}\)

i rozwiązanie układu równań wychodzi mi \(\displaystyle{ x=0, z=t, y=-2t,}\)
i tutaj ma problem czy baza będzie jednym wektorem spełniającym te zależności, czy po prostu znaczy to tyle że wektory są liniowo zależne i muszę sprawdzić jakie będą liniowo niezależne?
Jak nie biorę pod uwagę wektora \(\displaystyle{ v_{4}}\) to wychodzi że reszta jest niezależna, czy to jest odpowiedź? Czy bazę będą tworzyły wektory \(\displaystyle{ v_{1} v_{2} v _{3}}\) a wymiar będzie 3?

Proszę pilnie o pomoc i sprawdzenie mojego toku rozumowania.

[Trzycwierci]

i tutaj ma problem czy baza będzie jednym wektorem spełniającym te zależności, czy po prostu znaczy to tyle że wektory są liniowo zależne i muszę sprawdzić jakie będą liniowo niezależne?

Źle zinterpretowałeś wyniki. Po prostu wyszło ci, że w zbiorze tych wektorów \(\displaystyle{ v_{1}}\) jest niezależny od pozostałych (bo x - współczynnik przy nim stojący musi być równy zero, by suma tych wektorów była równa zero), a pozostałe 3 są wzajemnie liniowo zależne, więc musisz usunąć jeden z nich (tzn. teoretycznie co najmniej jeden z nich, ale w tym przypadku widać, że są one parami liniowo niezależne).

Podsumowując

Jak nie biorę pod uwagę wektora \(\displaystyle{ v_{4}}\) to wychodzi że reszta jest niezależna, czy to jest odpowiedź? Czy bazę będą tworzyły wektory \(\displaystyle{ v_{1} v_{2} v _{3}}\) a wymiar będzie 3?

Tak. Tak, tak.

Mam nadzieję, że zrozumiale wytłumaczyłem o co chodzi. Podkreślę jeszcze raz - zadanie rozwiązałeś dobrze, tylko z tego wyniku wyciągnąłeś (na początku) niepoprawne wnioski. Radzę ci poświęcić chwilę czasu na zrozumienie tego, co i dlaczego liczysz oraz czym jest wynik, a zadanie okaże się być względnie proste.