Liczba baz przestrzeni i różnych podprzestrzeni

[flashion]

Witajcie,

Ile wynosi:

a) liczba baz przestrzeni wektorowej
b) liczba różnych podprzestrzeni wektorowych danej przestrzeni?

Wyniki są związane z liczbami Stirlinga (gdyż występują one w tym samym zagadnieniu na egzamin )

//edit:
co do a znalazłem taką odpowiedź:
... e-in-mod-2

Czyli dla ciała o \(\displaystyle{ q}\) elementach, liczba n-elementowych baz równa się \(\displaystyle{ q^n}\) do \(\displaystyle{ {q}^{n-1}}\) ubywającej? (co sobie zapiszę ze wzorem wykorzystującym liczby Stirlinga)

Pozdrawiam

[wiedzmac]

Pytania są nie konkretne - popraw je.
Przykładowo przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ma nieskończenie wiele baz, a bazy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\) można policzyć na palcach. Na pewno o to ci chodzi w zadaniu?

[Medea 2]

Zgaduję, że chce znać liczbę \(\displaystyle{ q}\)-wymiarowych podprzestrzeni w \(\displaystyle{ \mathbb F_p^r}\), ale to nic pewnego.

[flashion]

Zgaduję, że chce znać liczbę \(\displaystyle{ q}\)-wymiarowych podprzestrzeni w \(\displaystyle{ \mathbb F_p^r}\), ale to nic pewnego.

Zgadza się.

W obu podpunktach chodzi o n-wymiarowe przestrzenie nad skończonym ciałem.

[Medea 2]

Przeczytaj

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial_coefficient

.

Gaussian binomial coefficients also play an important role in the enumerative theory of projective spaces defined over a finite field. In particular, for every finite field \(\displaystyle{ F_q}\) with \(\displaystyle{ q}\) elements, the Gaussian binomial coefficient

\(\displaystyle{ {n \choose k}_q}\)

counts the number of different \(\displaystyle{ k}\)-dimensional vector subspaces of an \(\displaystyle{ n}\)-dimensional vector space over \(\displaystyle{ F_q}\) (a Grassmannian).