Pytanie o przestrzeń wektorową

KotwButach · Post autor: **KotwButach** » 30 cze 2015, o 13:04

Czy jeśli pewna grupa przemienna jest przestrzenią wektorową nad danym ciałem, czy można powiedzieć, że ta grupa jest przestrzenią wektorową nad dowolnym ciałem?

Np. jeśli grupa \(\displaystyle{ (R ^{2} ,+)}\) jest przestrzenią nad ciałem R, to czy jest również przestrzenią nad ciałem liczb zespolonych?
Dodatkowo: czy słów przestrzeń i przestrzeń wektorowa używa się zamiennie?

Post autor: **AiDi** » 30 cze 2015, o 13:21

KotwButach pisze: Dodatkowo: czy słów przestrzeń i przestrzeń wektorowa używa się zamiennie?

Nie, bo różnych rodzajów przestrzeni mamy wiele. Wektorowe, afiniczne, topologiczne, metryczne...

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 30 cze 2015, o 13:31

I grupa nie może być przestrzenią wektorową.

KotwButach · Post autor: **KotwButach** » 30 cze 2015, o 14:28

Ok, precyzuje pytanie. Jeśli czwórka \(\displaystyle{ (R ^{2},R,+,*)}\) jest przestrzenią wektorową, to czy \(\displaystyle{ (R ^{2},C,+,*)}\) (gdzie C jest dowolnym ciałem) też jest przestrzenią wektorową?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 30 cze 2015, o 14:29

A jak definiujesz mnożenie na tej drugiej czwórce?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 30 cze 2015, o 14:36

Dowolne ciało jest przestrzenią wektorową nad sobą. Jak wyobrażasz sobie ciało \(\displaystyle{ \mathbb F_2}\) jako przestrzeń wektorowa nad \(\displaystyle{ \RR}\)?!

KotwButach · Post autor: **KotwButach** » 30 cze 2015, o 14:56

W ogóle sobie nie wyobrażam, bo nie wiem co znaczy to \(\displaystyle{ F _{2}}\). Ale sądząc po tonie Twojego głosu, wyrażonego zapisem '?!' domyślam się, że się nie jest.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 30 cze 2015, o 15:53

Chodzi o ciało o dwóch elementach, \(\displaystyle{ \{0,1\}}\) z dodawaniem i mnożeniem modulo.