Znajdowanie współrzędnych wektora w nowej bazie.

[PiTek93]

Bardzo proszę o pomoc przy zadaniu z znajdowania współrzędnych wektora w nowej bazie za pomocą macierzy przejścia w przestrzeniach rzeczywistych.

Dana jest macierz przejścia \(\displaystyle{ A}\) z bazy \(\displaystyle{ {s _{i} }}\) do bazy \(\displaystyle{ {n_{i}}}\) oraz wektor w. Znajdź jego współrzędne w bazie \(\displaystyle{ {n_{i}}}\).

\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 4\\ 2 & 5 & -3 \\ -1 & 4 & -4 \end{array} \right] \right]}\) oraz wektor: \(\displaystyle{ W = 2s_{1}+10s _{2} +7s _{3}}\)

Dobra, w każdym przypadku zadanie rozwiązuje się tak, że współrzędne wektora w nowej bazie obliczamy z wzoru:
\(\displaystyle{ y= A^{-1} a}\),
no ale wiadomo że to będzie równe:
\(\displaystyle{ Ay=b}\)
Mam podaną odpowiedź do tego zadania:
\(\displaystyle{ w = n _{1} + n _{2} - n _{3}}\)
Nie rozumiem, skąd wzięło się to \(\displaystyle{ b}\), oraz skąd wziął się wynik.. co przez co zostało przemnożone/obliczone/etc, tak żeby nie trzeba było liczyć macierzy odwrotnej.

[Trzycwierci]

Nie rozumiem, skąd wzięło się to b

b wzięło się z ze zwykłej pomyłki. Druga równość jest po prostu pierwszą pomnożoną lewostronnie przez A.

kąd wziął się wynik.. co przez co zostało przemnożone/obliczone/etc, tak żeby nie trzeba było liczyć macierzy odwrotnej.

Bez liczenia macierzy odwrotnej się nie obędzie. Dlaczego? Bo do obliczenia wektora chcesz wiedzieć podstawić \(\displaystyle{ n_i}\) za \(\displaystyle{ s_i}\), czyli znać przejście z \(\displaystyle{ n_i}\) do \(\displaystyle{ s_i}\), więc przejść w odwrotną stronę niż "kierunek" macierzy przejścia A.
Jak już policzysz macierz odwrotną do A, to obliczenie zadania jest bardzo proste - musisz tylko dobrze zrozumieć definicję macierzy przejścia. W i-tej kolumnie masz zapisane współrzędne stojące przy wektorach bazowych ze starej bazy dla i-tego wektora bazowego z nowej bazy. I tak
\(\displaystyle{ n_1=2s_1+2s_2-1s_3}\),
bo w pierwszej kolumnie A (a więc odpowiadającym dla pierwszego wektora bazowego \(\displaystyle{ n_i}\) z "nowej bazy") masz 2, 2 i -1. Jak będziesz miał \(\displaystyle{ A^{-1}}\), będziesz mógł w ten sposób sczytać wzory na \(\displaystyle{ s_i}\) uzależnione od \(\displaystyle{ n_i}\) i do swojego wektora te wzory podstawić by uzyskać wynik

[PiTek93]

Dzięki za odpowiedź, Twoja koncepcja rozwiązania na pewno jest dobra, ale rachunkowo bardziej skomplikowana. Da się to zrobić szybciej.

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 4\\ 2 & 5 & -3 \\ -1 & 4 & -4 \end{array} \right] \right]}\) \(\displaystyle{ *
\left[ \begin{array}{ccc} \alpha_{1} \\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array} \right] \right]=
\left[ \begin{array}{ccc} \ 2 \\ \ 10 \\ \ 7 \end{array} \right] \right]}\)

No i z tego mi wynika bardzo prosty układ równań z 3 niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\alpha_{1}+ 4\alpha_{2} + 4\alpha_{3}=2\\ 2\alpha_{1}+ 5\alpha_{2} + -3\alpha_{3}=10\\ -1\alpha_{1}+ 4\alpha_{2} - 4\alpha_{3}=7\end{cases}}\)

czyli: \(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{1} = 1\\ \alpha_{2} = 1\\ \alpha_{3} =-1\end{cases}}\)

czyli: \(\displaystyle{ W = 2s_{1}+10s _{2} +7s _{3}}\) - stary

to nowy: \(\displaystyle{ W = \alpha_{1} \vec{} n_{1}+\alpha_{1} \vec{} n _{2} +\alpha_{1} \vec{} n _{3}}\)

czyli ostatecznie: \(\displaystyle{ W = n_{1}+ n_{2} - n _{3}}\)

[Trzycwierci]

Twoja koncepcja rozwiązania na pewno jest dobra, ale rachunkowo bardziej skomplikowana. Da się to zrobić szybciej.

Jest dokładnie tak samo rachunkowo skomplikowana. Tak czy siak rozwiązujesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi, czyli dokładnie to samo co musiałbyś zrobić do policzenia macierzy odwrotnej.

[miclop]

Mam podobne pytanie co kolega wyżej, mianowicie:
Znaleźć macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ {{s _{i} }}}\) do bazy \(\displaystyle{ {{n_{i}}}}\), a następnie współrzędne wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{u}=a \cdot \overrightarrow{ n_{1} } + 2a \cdot \overrightarrow{n _{2} }}\) w bazie \(\displaystyle{ {s _{i} }, \overrightarrow{ s_{1} }=[-1;4],
\overrightarrow{ s_{2} }=[-1,;5], \overrightarrow{ n_{1} }=[-2,8], \overrightarrow{ n_{2} }=[4,-20]}\). Policzyłem macierz przejścia:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{array} \right] \right]}\)
W jaki sposób policzyć teraz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{u}}\) ?

[PiTek93]

Problem jeszcze aktualny?