Forma dwuliniowa

[blade]

\(\displaystyle{ f(x,y) = 3x_2y_2 + 3x_3y_3 +4x_1y_2 + 4x_1y_3 +4x_2y_3 -6x_3y_2}\)
•Forma kwadratowa \(\displaystyle{ g}\) :
\(\displaystyle{ g(x) = 3x_2^2 +3x_3^2 +4x_1x_2 +4x_1x_3 -2x_2x_3 \\
\left[ A=\begin{matrix}0&2&2\\2&3&-1\\2&-1&3\end{matrix}\right]}\)
•Metodą przekształceń ortogonalnych znaleźć bazę \(\displaystyle{ B_1}\), w której \(\displaystyle{ g}\) ma postać kanoniczną
\(\displaystyle{ det (A - I\lambda) = (4-\lambda)^2(\lambda +2) \\
V_{\lambda_1} = lin\{(1,2,0),(0,-2,1)\}\\
V_{\lambda_2} = lin\{(-2,1,1)\}\\
e_1 =\left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}},0\right)\\
e_2 =\left( -\frac{2}{\sqrt{110}},-\frac{9}{\sqrt{110}},\frac{5}{\sqrt{110}}\right)\\
e_3 =\left( -\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right) \\
B_1= (e_1,e_2,e_3) = \left( \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}},0\right);\left( -\frac{2}{\sqrt{110}},-\frac{9}{\sqrt{110}},\frac{5}{\sqrt{110}}\right);\left( -\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right)}\)
•Ostatnia część zadania \(\displaystyle{ \rightarrow}\) podać macierz formy \(\displaystyle{ g}\) w wyznaczonej bazie i przy pomocy tej macierzy wyznacz \(\displaystyle{ g\left( \frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)}\)
Tutaj nie jestem pewien :
Czy ta macierz, to będzie
\(\displaystyle{ D=\left[ \begin{matrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{matrix} \right]}\)

Jeśli nie, to jak ją wyznaczyć ?:)

A \(\displaystyle{ g\left( \frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = \left[\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{matrix}\right] \cdot D \cdot \left[\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{matrix}\right]}\)
(nie zależnie już od tego czy \(\displaystyle{ D}\) ma taką postać jaką napisałem)
Proszę o pomoc, z góry dziękuję za odpowiedź

[Poszukujaca]

Czy ta macierz, to będzie
\(\displaystyle{ D=\left[ \begin{matrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{matrix} \right]}\)

Tak, a postać kanoniczna tej formy to: \(\displaystyle{ g((x_{1},x_{2},x_{3}))=4x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}}\)

[blade]

Ok, dzięki za odpowiedź

a postać kanoniczna tej formy to: \(\displaystyle{ g((x_{1},x_{2},x_{3}))=4x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}}\)

Tak to wiem, ale nie trzeba było wyznacząć w zadaniu

[Poszukujaca]

A jeśli chodzi o wartość formy kwadratowej na podanym wektorze, to wystarczy wstawić jego współrzędne do wzoru. Oczywiście Będzie to równoznaczne z mnożeniem macierzy, które napisałeś.

[blade]

•Ostatnia część zadania \(\displaystyle{ \rightarrow}\) podać macierz formy \(\displaystyle{ g}\) w wyznaczonej bazie i przy pomocy tej macierzy wyznacz \(\displaystyle{ g\left( \frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)}\)

[Poszukujaca]

Tak, tak. Ostatnio mam problemy z czytaniem ze zrozumieniem