Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]

[adamtt]

Cześć

Szukam pomocy w zrozumieniu, aczkolwiek z braku czasu raczej schematu rozwiązywania takich zadań:

Zadanie 1.

Czy wielomiany:
\(\displaystyle{ w_{1}(x) = -2x^{2}+x}\)
\(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}+4x-3}\)
\(\displaystyle{ w_{3}(x) = 1-2x}\)


tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[ \cdot ]}\) ? Zapisać wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\)
we współrzędnych w bazie:
\(\displaystyle{ e_{1}'(x) = -x^{2}}\)
\(\displaystyle{ e_{2}'(x) = 6}\)
\(\displaystyle{ e_{3}'(x) = 2x}\)

[Poszukujaca]

W pierwszym zadaniu musisz sprawdzić, czy wielomiany są liniowo niezależne,

Możesz utożsamić wielomian \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\) z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)}\).

Generowania nie trzeba sprawdzać, ponieważ wymiar przestrzeni zgadza się z liczbą wielomianów.

[adamtt]

Ok, i wyszło mi, że w3 nie jest liniowo zależny, więc nie tworzą tej bazy, tak? I pozostaje druga część zadania

[Poszukujaca]

Mi również wyszło, że ten układ jest liniowo zależny, a więc nie tworzy bazy.

Współrzędne wektora w bazie znajduje się tak, jak dla zwykłych wektorów z np. \(\displaystyle{ R^{3}}\)

\(\displaystyle{ 4x^{2}-4x+3=\alpha \cdot (-x^{2})+\beta \cdot 6+\gamma \cdot 2x}\)

[Arytmetyk]

Tak, nie tworzą bo układ jest liniowo zależny.

\(\displaystyle{ - \frac{1}{3} \left( w_{2}+2w_{1}\right) = w_{3}}\)

Co do drugiego zadania to musisz wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\) zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych, wtedy współczynniki \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\), które będą stać przy wektorach bazowych to będą twoje współrzędne w bazie: \(\displaystyle{ \left( a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)}\)

[adamtt]

Czyli mam przemnożyć przez coś wektory bazowe tak, aby otrzymać ten wielomian \(\displaystyle{ w_{2}}\)?
Jeśli tak, to dzięki Jeśli nie, proszę wytłumacz :p

[Poszukujaca]

Spójrz na równanie,które napisałam wyżej. Możesz wypisać wynikające z niego trzy równania z każdym współczynnikiem osobno. No ale nie trzeba zbytnio kombinowac, bo chyba od razu widać ile musza wynosić poszczególne współczynniki.

[adamtt]

Wybacz, nie zauważyłem Twojej odpowiedzi, a jedynie odp @Arytmetyk