Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 gru 2014, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WWA
- Podziękował: 1 raz
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Cześć
Szukam pomocy w zrozumieniu, aczkolwiek z braku czasu raczej schematu rozwiązywania takich zadań:
Zadanie 1.
Czy wielomiany:
\(\displaystyle{ w_{1}(x) = -2x^{2}+x}\)
\(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}+4x-3}\)
\(\displaystyle{ w_{3}(x) = 1-2x}\)
tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[ \cdot ]}\) ? Zapisać wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\)
we współrzędnych w bazie:
\(\displaystyle{ e_{1}'(x) = -x^{2}}\)
\(\displaystyle{ e_{2}'(x) = 6}\)
\(\displaystyle{ e_{3}'(x) = 2x}\)
Szukam pomocy w zrozumieniu, aczkolwiek z braku czasu raczej schematu rozwiązywania takich zadań:
Zadanie 1.
Czy wielomiany:
\(\displaystyle{ w_{1}(x) = -2x^{2}+x}\)
\(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}+4x-3}\)
\(\displaystyle{ w_{3}(x) = 1-2x}\)
tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[ \cdot ]}\) ? Zapisać wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\)
we współrzędnych w bazie:
\(\displaystyle{ e_{1}'(x) = -x^{2}}\)
\(\displaystyle{ e_{2}'(x) = 6}\)
\(\displaystyle{ e_{3}'(x) = 2x}\)
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
W pierwszym zadaniu musisz sprawdzić, czy wielomiany są liniowo niezależne,
Możesz utożsamić wielomian \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\) z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)}\).
Generowania nie trzeba sprawdzać, ponieważ wymiar przestrzeni zgadza się z liczbą wielomianów.
Możesz utożsamić wielomian \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\) z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)}\).
Generowania nie trzeba sprawdzać, ponieważ wymiar przestrzeni zgadza się z liczbą wielomianów.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 gru 2014, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WWA
- Podziękował: 1 raz
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Ok, i wyszło mi, że w3 nie jest liniowo zależny, więc nie tworzą tej bazy, tak? I pozostaje druga część zadania
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Mi również wyszło, że ten układ jest liniowo zależny, a więc nie tworzy bazy.
Współrzędne wektora w bazie znajduje się tak, jak dla zwykłych wektorów z np. \(\displaystyle{ R^{3}}\)
\(\displaystyle{ 4x^{2}-4x+3=\alpha \cdot (-x^{2})+\beta \cdot 6+\gamma \cdot 2x}\)
Współrzędne wektora w bazie znajduje się tak, jak dla zwykłych wektorów z np. \(\displaystyle{ R^{3}}\)
\(\displaystyle{ 4x^{2}-4x+3=\alpha \cdot (-x^{2})+\beta \cdot 6+\gamma \cdot 2x}\)
- Arytmetyk
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 105 razy
- Pomógł: 41 razy
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Tak, nie tworzą bo układ jest liniowo zależny.
\(\displaystyle{ - \frac{1}{3} \left( w_{2}+2w_{1}\right) = w_{3}}\)
Co do drugiego zadania to musisz wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\) zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych, wtedy współczynniki \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\), które będą stać przy wektorach bazowych to będą twoje współrzędne w bazie: \(\displaystyle{ \left( a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{3} \left( w_{2}+2w_{1}\right) = w_{3}}\)
Co do drugiego zadania to musisz wektor \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 4x^{2}-4x+3}\) zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych, wtedy współczynniki \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\), które będą stać przy wektorach bazowych to będą twoje współrzędne w bazie: \(\displaystyle{ \left( a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 gru 2014, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WWA
- Podziękował: 1 raz
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Czyli mam przemnożyć przez coś wektory bazowe tak, aby otrzymać ten wielomian \(\displaystyle{ w_{2}}\)?
Jeśli tak, to dzięki Jeśli nie, proszę wytłumacz :p
Jeśli tak, to dzięki Jeśli nie, proszę wytłumacz :p
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Spójrz na równanie,które napisałam wyżej. Możesz wypisać wynikające z niego trzy równania z każdym współczynnikiem osobno. No ale nie trzeba zbytnio kombinowac, bo chyba od razu widać ile musza wynosić poszczególne współczynniki.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 gru 2014, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WWA
- Podziękował: 1 raz
Czy wielomiany tworzą bazę w przestrzeni R[x]
Wybacz, nie zauważyłem Twojej odpowiedzi, a jedynie odp @Arytmetyk