Dopełnienie ortogonalne.

[LipaMat]

Pytanie brzmi jak znaleźć dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ span {1,x}}\) \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) wielomianów co najwyżej drugiego stopnia, gdzie iloczynem skalarnym jest:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx}\)

Nie wiem, jak to ruszyć. Mi się wydaje, że dopełnienie jest puste, ale na egzaminie dostałem z tego 0 punktów, więc chyba nie jest to poprawna odpowiedź.

[bartek118]

Zdecydowanie nie jest puste, gdyż przestrzeń jest trójwymiarowa. Musisz znaleźć wielomiany \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) takie, że ten iloczyn skalarny z \(\displaystyle{ 1}\) i z \(\displaystyle{ x}\) jest zerowy.

[LipaMat]

No rozumiem, coś mi świta. Ale czy da się to jakoś wpisać w macierzy, czy cokolwiek? Tak jak się wpisuje, gdy szuka się dopełnienia ortogonalnego w zwykłym iloczynie skalarnym. Czy trzeba to wymyślić po prostu, strzelić?

[bartek118]

Nie. Po prostu masz warunki:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} ax^2 + bx + c dx = 0 \\
\int_{-1}^{1} x \left( ax^2 + bx + c) dx = 0}\)
Wyciągnij z tego warunki na współczynniki.

[LipaMat]

No to jeszcze jedno pytanko. Rozwiązałem te dwa równania i wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ 2/3b = 0}\)
\(\displaystyle{ 2/3a + 2c=0}\)

To teraz wyciągam z drugiego \(\displaystyle{ a=-3c}\). I wychodzi mi, że tym wektorem jest

\(\displaystyle{ span( ax^2,0,-3a)}\)?

Czy źle to interpretuję?

[bartek118]

Jeśli nie mylisz się w rachunkach, to tak. Przy czym szukana przestrzeń to
\(\displaystyle{ \{ ax^2 - 3a \ : \ a \in \RR \}}\)
zaś jej bazą jest jeden wektor: \(\displaystyle{ x^2 - 3}\)