Dana jest macierz :
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix}-2&-1&1\\0&0&-1\\2&1&0\end{matrix}\right]}\)
oraz baza \(\displaystyle{ B_1=(e_1,e_2,e_3)}\) w \(\displaystyle{ \RR^3}\)
•Wykaż, że \(\displaystyle{ B_2 = (v_1,v_2,v_3) : v_1= e_1 +e_2 ; v_2=-3e_1 +e_2 ; v_3= e_1 + e_2 +e_3}\), też stanowi bazę w \(\displaystyle{ \RR^3}\)
\(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3)=\left( e_1 +e_2 ;-3e_1 +e_2;e_1 + e_2 +e_3\right) = Lin \{(1,-3,1),(1,1,1),(0,0,1)\}}\)
A te wektory są liniowo niezależne, zatem stanowią bazę w \(\displaystyle{ \RR^3}\)
•Zakładając, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B_2}\), wyznacz \(\displaystyle{ f(w)}\) dla \(\displaystyle{ w=3e_1-e_2-e_3}\) :
\(\displaystyle{ M_f(B_2,B_2) = \left[ \begin{matrix}-2&-1&1\\0&0&-1\\2&1&0\end{matrix}\right]}\)
Z tego dostaję, że :
\(\displaystyle{ f(e_1+e_2) = [-2,0,2]_{B_2} = 2e_3 \\
-3f(e_1) +f(e_2) = [1,0,1]_{B_2} = e_3 \\
f(e_1)+f(e_2) +f(e_3) = [1,-1,0]_{B_2} = 4e_1\\
f(e_1) = \frac{1}{4}e_3\\
f(e_2) = \frac{7}{4}e_3\\
f(e_3) = 4e_1 - 2e_3 \\
f(w) = 3f(e_1) -f(e_2) -f(e_3) = e_3 -4e_1}\)
•Wyznacz jądro odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) oraz jego bazę i wymiar.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}-2&-1&1\\0&0&-1\\2&1&0\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}{x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right] = \vec{0}\\}\)
\(\displaystyle{ x_3 = 0\\
x_2 = -2x_1\\
ker f = Lin\{(1,-2,0)\}}\)
To też jego baza, a wymiar jest \(\displaystyle{ 1}\)
Proszę o sprawdzenie, bo nie mam jak sprawdzić czy metoda jest dobra i czy nie robię jakiś kardynalnych błędów. Z góry dziękuję