Obraz odwzorowania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Obraz odwzorowania

Post autor: blade »

Mam \(\displaystyle{ f:\RR^4 \rightarrow \RR^3 , B_1= (e_!,e_2,e_3,e_4) \in \RR^4, B_2 = (u_1,u_2,u_3) \in \RR^3}\)
takie, że \(\displaystyle{ f(e_1) = u_1 - 2u_2 ; f(e_2)= u_2 + 3u_3 ; e_3, e_4 \in Ker f}\)
Czy \(\displaystyle{ v\in Im f, v=u_1 +u_2 + u_3 ?}\) Uzasadnij!
No więc *z liniowości*
\(\displaystyle{ f(e_1,e_2,e_3,e_4) = f(e_1) +f(e_2) +f(e_3) + f(e_4) = f(e_1) + f(e_2)}\)
bo skoro \(\displaystyle{ e_3}\) i \(\displaystyle{ e_4}\) należą do jądra to \(\displaystyle{ f(e_3)=f(e_4) = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha,\beta \in \RR \\
\alpha f(e_1) + \beta f(e_2) = u_1+u_2+u_3\\
\alpha u_1 - 2\alpha u_2 + \beta u_2 +3\beta u_3 = u_1 +u_2 +u_3\\}\)

\(\displaystyle{ \alpha u_1 +u_2(-2\alpha +\beta) +3\beta u_3 = u_1 + u_2 +u_3 \\
\alpha = 1\\
\beta = \frac{1}{3}
-2\alpha + \beta = 1 \Rightarrow -2 +\frac{1}{3} \neq 1}\)

sprzeczność

Zatem \(\displaystyle{ v \notin Im f}\) dla \(\displaystyle{ v=u_1 + u_2 + u_3}\), bo nie istnieje wektor \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2,x_3,x_4)}\) dla którego \(\displaystyle{ f(x) = v}\)
Czy to jest dobrze uzasadnione ?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Obraz odwzorowania

Post autor: Medea 2 »

Źle, bo zapis \(\displaystyle{ f(e_1, \dots, e_4)}\) jest pozbawiony sensu.

Dobre uzasadnienie jest takie: szukamy skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), że \(\displaystyle{ f(\alpha e_1 + \beta e_2) = u_1 + u_2 + u_3}\). Z wiedzy, którą mamy wynika, że \(\displaystyle{ \alpha = 1}\) (współczynnik przy \(\displaystyle{ u_1}\). Podobne rozumowanie pokazuje, że wtedy \(\displaystyle{ \beta = -1/3}\), ale wtedy współczynnik przy \(\displaystyle{ u_2}\) się psuje. Czyli mniej więcej to, co Ty, ale schludniej. Trzeba się powołać na to, że \(\displaystyle{ e_i}\) tworzą bazę, \(\displaystyle{ u_j}\) podobnie. Tylko wtedy możemy przyrównywać kombinacje "wyraz po wyrazie".
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Obraz odwzorowania

Post autor: blade »

Medea 2 pisze:Źle, bo zapis \(\displaystyle{ f(e_1, \dots, e_4)}\) jest pozbawiony sensu.
Chciałem zapisać \(\displaystyle{ f(e_1, 0, 0 ,0) + ...}\)
Ale wtedy spojrzałem na treść zadania i tam było \(\displaystyle{ f(e_1), f(e_2), ...}\)
To mnie zmyliło, ale teraz widzę, że to było \(\displaystyle{ f(e_1 + 0e_2 +...+0e_4)}\)
Gdybym zapisał to tak samo, ale z tymi zerami, to byłoby już dobrze?
LipaMat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 23 paź 2013, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 9 razy

Obraz odwzorowania

Post autor: LipaMat »

Wydaje mi się, że nie. Jest to dosyć dziwny zapis, bo sugeruje, że bierzesz przekształcenie na raz od wszystkich czterech wektorów. Najrozsądniej pisać po prostu \(\displaystyle{ f(e_{1})}\), bo to oznacza, że bierzesz to przekształcenie od danego wektora \(\displaystyle{ e_{1}}\)
ODPOWIEDZ