Suma prosta

[blade]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ \RR^4= Lin\{(1,k,k,k),(k,1,k,k)\} \oplus Lin\{(k,k,1,k),(k,k,k,1)\}}\)
Według mnie dla \(\displaystyle{ k \neq 1}\), bo \(\displaystyle{ Lin\{(1,k,k,k),(k,1,k,k)\} \oplus Lin\{(k,k,1,k),(k,k,k,1)\} = Lin\{(1,k,k,k),(k,1,k,k),(k,k,1,k),(k,k,k,1)\}}\) a dla każdego \(\displaystyle{ k\neq 1}\) są to wektory liniowo niezależne co daje nam \(\displaystyle{ \RR^4}\).
Czy dobrze uzasadniłem ?

[Medea 2]

Zwykła suma jest prosta dokładnie wtedy, kiedy podprzestrzenie, które dodajesz, mają trywialny przekrój. Jeżeli \(\displaystyle{ k \neq 1}\), to wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów prawie nie jest zerem. Moim zdaniem prawie okej. Prawie, bo wyznacznik to \(\displaystyle{ (1-k)^3 (1 + 3 k)}\)

[blade]

Dziękuję, czyli \(\displaystyle{ k\neq 1 \wedge k\neq \frac{1}{3}}\) ?
Mogłabyś jeszcze sprawdzić drugą część zadania :
Mam wyznaczy rząd w zależności od parametru \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix}1&k&k&k\\k&1&k&k\\k&k&1&k\\k&k&k&1\end{matrix}\right]}\)
Sprowadzam to do postaci schodkowej :
\(\displaystyle{ A \sim \left[ \begin{matrix}1-k&0&0&k\\0&1-k&0&k\\0&0&1-k&2k\\0&0&0&3k+1\end{matrix}\right]}\)
więc jeśli
\(\displaystyle{ k=1 \Rightarrow R(A) = 1 \\
k=-\frac{1}{3} \Rightarrow R(A) = 3 \\
k\in \RR \setminus \left\{ 1,-\frac{1}{3}\right\} \Rightarrow R(A) = 4 \\}\)

[Medea 2]

Tak, ale nie przepadam za znaczkami. Możesz napisać: jeżeli \(\displaystyle{ k = 1}\), to \(\displaystyle{ A}\) ma rząd \(\displaystyle{ 1}\), i tak dalej.

[blade]

Dziękuję za pomoc