Wyznaczanie jądra i obrazu - wielomiany

[ewciak]

Witam, mam problem z takim zadaniem:
Wyznacz wymiar jądra i obrazu odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ L: R_3[x] \rightarrow R_3[x]}\) danego wzorem \(\displaystyle{ L(\varphi)(x)=x^2 \cdot \varphi''(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R_3[x]}\) oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego, zaś \(\displaystyle{ \varphi''}\) jest pochodną \(\displaystyle{ \varphi}\).

No więc zacznę od jądra. Kombinowałam w ten sposób:
\(\displaystyle{ \varphi(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ \varphi''(x)=6ax+2b}\)
A zatem \(\displaystyle{ L(\varphi)(x)=6ax^3+2bx^2=0 \iff x=0 \vee x=\frac{-b}{3a}, \quad a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0}\)

Stąd \(\displaystyle{ KerL=\left\{ \varphi \in R_3[x]: \varphi=6ax^3+2bx^2=0
\right\}}\) i co dalej? Jedyne co mi przychodziło do głowy, to wyznaczenie \(\displaystyle{ b=-3ax}\), ale wtedy wszystko nam się zeruje.
Czy można od razu napisać, że \(\displaystyle{ dimKerL=1}\)?

[yorgin]

Gdy wyznaczasz jądro z przestrzeni wielomianów, to szukasz nie miejsc zerowych wielomianów, a współczynników wielomianów takich, które po przekształceniu zerują się.

Musisz więc sprawdzić, kiedy \(\displaystyle{ L(\varphi)}\) jest wielomianem zerowym. W tym celu wystarczy, by \(\displaystyle{ a=b=0}\) oraz \(\displaystyle{ c,d}\) były dowolne. To jest, jeśli \(\displaystyle{ \varphi(x)=cx+d}\), to \(\displaystyle{ L(\varphi)=0}\).

[a4karo]

A co oznacza \(\displaystyle{ x_2}\) w definicji operatora?

[yorgin]

Patrząc na dalszą część zadania domyślam się, że jest to zwykła literówka. Autorka miała na myśli \(\displaystyle{ x^2\varphi''(x)}\).

[ewciak]

a4karo - tak, to literówka, już poprawiłam-- 21 cze 2015, o 12:05 --yorgin - ok, chyba łapię, chociaż przyznaję, że przykłady z wielomianami często sprawiają mi trudność. w takim razie \(\displaystyle{ dimKerL=2}\)?

[yorgin]

Tak. Jądro jest dwuwymiarowe. A zatem obraz też jest dwuwymiarowy.