Sprawdzenie, czy wzór określa iloczyn skalarny

[Piotr246]

Witam. Otóż mam wielki problem z tym zadaniem, nie mam pojęcia jak przekuć twierdzenie i warunki występowania iloczynu skalarnego na konkretny przykład.

Zadanie jest takie: Sprawdź, że wzór \(\displaystyle{ \left\langle(x_1, y_1),(x_2,y_2)\right\rangle = 3x_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2+4y_1y_2}\) określa iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ R^2}\)

No i mam te warunki określoności iloczynu skalarnego:
1. \(\displaystyle{ \left\langle \vec{x} ,\vec{y} \right\rangle =\left\langle\vec{y},\vec{x} \right\rangle}\)
2. \(\displaystyle{ \left\langle\vec{x} \cdot \vec{y},\vec{z}\rangle=\left\langle\vec{x},\vec{z} \right\rangle +\left\langle\vec{y},\vec{z} \right\rangle}\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle\lambda \cdot \vec{x},\vec{y} \right\rangle =\lambda\left\langle\vec{x},\vec{y} \right\rangle}\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle\vec{x},\vec{x} \right\rangle \ge 0}\)
5. \(\displaystyle{ \left\langle\vec{x},\vec{x} \right\rangle = 0 \iff x= \vec{0}}\)

W każdym razie do pierwszego podpunktu mam wrażenie, że dobrze się odnoszę, bo:

\(\displaystyle{ 3x_1x_2+2x_1y_2+2y_1y_2+4y_1y_2=3x_2x_1+2x_2y_1+2y_2x_1+4y_2y_1}\)

Do 4-tego, 5-tego to też nie problem, jednak 2-gi i 3-ci warunek nie potrafię zobrazować w postaci równania.
Z góry dziękuję za pomoc.

[bartek118]

Pierwszy warunek mówi, że masz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \langle (x_1, y_1), (x_2,y_2) \rangle}\) i \(\displaystyle{ \langle (x_2,y_2), (x_1, y_1) \rangle}\) jest tym samym.

[Piotr246]

No to jak to przedstawić? Bo myślałem że po prostu trzeba "zamienić miejscami \(\displaystyle{ x_1}\) z \(\displaystyle{ x_2 i y_1}\) z \(\displaystyle{ y_2}\)? Jeśli to nie jest tak jak napisałem to na prawdę nie wiem kompletnie jak to rozpisać. Tym bardziej kolejne dwa podpunkty.

[a4karo]

Pirewsze masz ok, tylko zrobiłes literówkę w trzecim wyrazie po lewej.
Trzeci i czwarty sa proste i dasz radę jes zrobić, gdy uwzględnisz, że \(\displaystyle{ \lambda (x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)}\)

W 4 wstaw \(\displaystyle{ y=x}\)

w 2 po lewej stronie nie gwiazdka, lecz plus - dalej prosto...