Izometria - jak pokazać, że nią jest?

[jackblack]

\(\displaystyle{ \[T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\]}\) - odwzorowanie liniowe.
\(\displaystyle{ T(x,y)=(x, -y)}\)

Jak pokazać, że to jest izometria?

[Peter Zof]

Należy pokazać że dla każdego \(\displaystyle{ \vec{x} = (x,y)}\) mamy: \(\displaystyle{ || \vec{x} || = || T( \vec{x}) ||}\), gdzie \(\displaystyle{ ||.||}\) oznacza normę określoną na tej przestrzeni. Zapewne chodzi o normę euklidesową, tak więc u nas \(\displaystyle{ || \vec{x} || = \sqrt{x^2 + y^2}}\).

Niech więc \(\displaystyle{ \vec{x}}\) będzie wektorem z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Jak napisałem wyżej, mamy \(\displaystyle{ ||\vec{x}|| = \sqrt{x^2+y^2}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ T(\vec{x})=(x, -y)}\), tak więc \(\displaystyle{ ||T(\vec{x})||= \sqrt{x^2+(-y)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ ||T(\vec{x})||= \sqrt{x^2+y^2}=||\vec{x}||}\).

[szachimat]

Izometria zachowuje długość odcinka.
Można zatem napisać wzór na długość odcinka AB, gdzie \(\displaystyle{ A=\left( x _{1},y _{1} \right)}\) i \(\displaystyle{ B=\left( x_{2} , y_{2} \right)}\)
Następnie piszemy wzór na długość obrazu tego odcinka w podanym przekształceniu, czyli dla \(\displaystyle{ A'=\left( x _{1},-y _{1} \right)}\) i \(\displaystyle{ B'=\left( x_{2} , -y_{2} \right)}\)
Jeżeli otrzymamy to samo, to będzie dowód na to, że podane przekształcenie jest izometrią.