Postać Jordana macierzy

[blade]

Podać macierz Jordana oraz wskazać bazę, której ta macierz odpowiada :
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{matrix}4&5&-2\\-2&-2&1\\-1&-1&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ det A = -(\lambda -1)^3\\
\lambda = 1 \\}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}3&5&-2\\-2&-3&1\\-1&-1&0\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ x_1=-x_2=-\alpha\\
x_3=x_2=\alpha\\
\alpha\in \RR}\)
\(\displaystyle{ V^{(1)} = \{(-\alpha,\alpha,\alpha) : \alpha \in \RR\} = lin \{(-1,1,1)\} \\
\left[ \begin{matrix}3&5&-2\\-2&-3&1\\-1&-1&0\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}-\alpha\\\alpha\\\alpha\end{matrix}\right] \\}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -\beta - \alpha\\
x_2 = \beta \\
x_3 = \beta - \alpha \\
\beta \in \RR}\)
\(\displaystyle{ V^{(2)} = \{(-\beta - \alpha, \beta, \beta - \alpha) : \alpha,\beta \in \RR\} = lin \{(-1,0,-1),(-1,1,1)\}\\
\left[ \begin{matrix}3&5&-2\\-2&-3&1\\-1&-1&0\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}-\beta - \alpha\\ \beta\\ \beta - \alpha\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -\gamma -\beta +\alpha\\
x_2 = \gamma\\
x_3 = \gamma - \beta +2\alpha \\
\gamma \in \RR}\)
\(\displaystyle{ V^{(3)} = {(-\gamma - \beta +\alpha, \gamma,\gamma - \beta + 2\alpha) : \alpha,\beta,\gamma \in \RR\} = lin \{(1,0,2),(-1,0,-1),(-1,1,1)\} \\}\)
Nie ma wektorów głównych \(\displaystyle{ 3}\) i wyższych rzędów. (tylko 3 wartości własne, więc jak dalej będę liczył to będzie sprzeczność)
Patrzę na \(\displaystyle{ V^{(1)}}\) i widzę, że jest \(\displaystyle{ 1}\) wymiarowa, więc będzie jedna klatka (dobrze rozumiem?) :
\(\displaystyle{ J = \left[ \begin{matrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=\{(1,0,2),(-1,0,-1),(-1,1,1)\} \rightarrow}\) w odpowiedziach jest inna, więc jak znaleźć tę bazę ?
Bardzo proszę o pomoc, z góry dziękuję !

[robertm19]

Bazę chyba inaczej się wybiera. Np. stworzoną z wektorów dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\), \(\displaystyle{ \beta=1}\) i \(\displaystyle{ \gamma=1}\).

[blade]

A czy nie tak wybrałem ?

\(\displaystyle{ V^{(3)} = \{(-\gamma - \beta +\alpha, \gamma,\gamma - \beta + 2\alpha) : \alpha,\beta,\gamma \in \RR\}}\)

\(\displaystyle{ =\{(-\gamma,\gamma,\gamma) + (-\beta,0,-\beta) + (\alpha,0,2\alpha) : \alpha,\beta, \gamma \in \RR \} = ...\\
\alpha = 1 \\
\beta = 1\\
\gamma =1\\
...=\{(-1,1,1) + (-1,0,-1) + (1,0,2)\} = lin\{(-1,1,1) , (-1,0,-1) ,(1,0,2)\}\\}\)
Błąd jest gdzieś w rachunkach, bo przy rozwiązywaniu innych przykładów wychodziło mi już dobrze.

[LipaMat]

Mi wyszło tak:

\(\displaystyle{ J= \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Baza Jordana wygląda natomiast tak:
\(\displaystyle{ B_{j} = {[-1,1,1]^{T}, [-2,1,0]^{T}, [1,-1,0]^{T}}}\)

Masz jeden wektor źle znaleziony.