Trochę różnych pytań

[InYourHead]

Uzbierało mi się trochę wątpliwości związanych z algebrą i z pewnymi pojęciami, zbieram je tutaj, żeby nie tworzyć mnóstwa tematów:

1. Kiedy mówimy, że układ jest układem Cramerowskim? Wystarczy powiedzieć, że wyznacznik główny macierzy jest różny od zera?
2. Definicją sumy dwóch podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\) to zapis \(\displaystyle{ V_1 + V_2= V_1 \cup V_2 - V_1 \cap V_2}\)?
3. Podaj definicję bazy ortogonalnej przestrzeni względem (pewnego) funkcjonału dwuliniowego. Jak brzmi taka definicja?
4.Do sprawdzenia, czy funkcjonał dwuliniowy jest iloczynem skalarnym, sprawdzamy dodatnią określoność funkcjonału?
5.No i zadanie, na które nie mam szybkiego pomysłu:
Wykorzystując własność iloczynu skalarnego oblicz odległość punktu A od prostej
przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) w przestrzeni afinicznej\(\displaystyle{ R^3}\), gdzie \(\displaystyle{ A=(1,1,1)
, B=(2,2,1)
, C= (1,2,2).}\)


Pozdrawiam i dziękuję z góry za pomoc i cierpliwość

[Poszukujaca]

1. Nie. Układ Cramerowski to taki, w którym liczba niewiadomych równa się liczbie równań.
Natomiast ten dodatkowy warunek, o którym napisałeś, to zgodnie z twierdzeniem Cramera - informuje nas ponadto, że układ taki ma dokłądnie jedno rozwiązanie.

[yorgin]

2) Nie. \(\displaystyle{ V+U=\{v+u: v\in V\wedge u\in U\}}\).

3) Na czystą logikę - baza jest ortogonalna, gdy wartość funkcjonału na dwóch różnych wektorach z bazy jest zerowa.

4) Sprawdzamy wszystkie warunki iloczynu, które nie są związane z formą dwuliniową.

5) Istnieje wzorek pozwalający wyznaczyć rzut prostopadły punktu na prostą - wzorek ten zawiera iloczyny skalarne.