Bazy przestrzeni - problem.

[engineeer]

Witam, natknąłem się na pewne zadanie, którego nawet nie potrafię ruszyć. Oto jego treść:

Dwa niezerowe wektory \(\displaystyle{ v _{1}=(1,0,1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ v _{2}=(0,1,2,2)}\) rozpinają podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\) i stanowią dla niej bazę \(\displaystyle{ B=(v _{1},v _{2})}\). Ponadto wektor \(\displaystyle{ w=(-1,1,1,0)}\) jest taki, że \(\displaystyle{ w \in W}\) oraz \(\displaystyle{ C=(-v _{1},w)}\) jest drugą bazą przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Obliczyć \(\displaystyle{ M _{B}(w)}\), \(\displaystyle{ M ^{C} _{B}(Id)}\), \(\displaystyle{ M _{C} ^{B} (Id)}\) oraz \(\displaystyle{ M _{C}(w)}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[jutrvy]

Wyjaśnij proszę, o co chodzi w oznaczeniach \(\displaystyle{ M_B(w), M_B^C(Id),\ldots}\) - wtedy pomogę.

[engineeer]

O ile się nie mylę, te symbole oznaczają macierz zmiany bazy.

[jutrvy]

Ale jaką macierz, konkretnie? Przejścia skąd dokąd.

[engineeer]

\(\displaystyle{ M _{B} ^{C}}\) - z B do C
\(\displaystyle{ M ^{B} _{C}}\) - z C do B

[jutrvy]

Ok, a co znaczy \(\displaystyle{ M_C(w)}\)?-- 20 cze 2015, o 12:35 --Macierz zmiany bazy, ogólnie: jeśli masz sobie dwie bazy przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), o takie: \(\displaystyle{ B_1 = \lbrace v_1, v_2, \ldots, v_n\rbrace}\), oraz \(\displaystyle{ B_2 = \lbrace w_1, w_2, \ldots, w_n\rbrace}\), to wtedy każdy \(\displaystyle{ v_i}\), gdzie \(\displaystyle{ i = 1, 2,\ldots, n}\) można zapisać jednoznacznie w bazie \(\displaystyle{ B_2}\):

\(\displaystyle{ v_i = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{i,j}w_j}\).

Ponadto każdy wektor z \(\displaystyle{ r\in V}\) można zapisać w bazie \(\displaystyle{ B_1}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ r = \sum_{j=1}^{n}a_jv_j}\),

zatem wektor \(\displaystyle{ r}\) wyrażony w bazie \(\displaystyle{ B_1}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots, a_n)}\).

Pytamy się o to, jak skonstruować macierz, która ma następującą własność. Jeśli nałożymy tę macierz na wektor o współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B_1}\), to ta macierz wypluje nam wektor o współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B_2}\). Jak nie trudno zauważyć, ta macierz będzie wyglądała o tak:

\(\displaystyle{ M_{B_1}^{B_2} = \left( \begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1n}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{array} \right)}\)

Innymi słowy \(\displaystyle{ i}\)-ta kolumna tej macierzy to współrzędne \(\displaystyle{ i}\)-tego wektora bazy \(\displaystyle{ B_1}\) wyrażonego we współrzędnych wektorów z \(\displaystyle{ B_2}\).

Teraz już chyba będzie Ci łatwo zrobić Twoje zadanie, nie?

[engineeer]

Dzięki wielkie, teraz ten temat mi się nieco rozjaśnił