Wektory i przekształcenia liniowe.

[engineeer]

Witam, nie mam pojęcia jak zabrać się za następujące zadanie:

Dane są wektory \(\displaystyle{ v _{1}=(1,0,-2,-1,0), v _{2}=(0,1,1,1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ w=(1,1,1)}\) wraz z przekształceniem liniowym \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1&-2\\0&0&1&-2&6\\0&0&-1&2&-6\end{bmatrix}}\)

Jak sprawdzić, czy wektory \(\displaystyle{ v _{1},v _{2} \in kerF}\), a \(\displaystyle{ w \in imF}\) i czy \(\displaystyle{ v _{1},v _{2}}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ kerF}\) ?

Dodatkowo mam do obliczenia \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ imF}\) oraz \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ kerF}\) - czy w pierwszym przypadku chodzi po prostu o obliczenie rzędu podanej macierzy przekształcenia ?

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[SidCom]

Jądro odwzorowania \(\displaystyle{ ker F}\) to zbiór wektorów, które są przekształcane przez odwzorowanie w wektory zerowe, więc napisz stosowne równanie...

[jutrvy]

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza macierz przekształcenia \(\displaystyle{ F}\).

Ok, jądro przekształcenia liniowego, to wszystkie wektory, które są posyłane przez to przekształcenie w zero. Żeby sprawdzić, czy jakiś wektor jest w jądrze, trzeba nałożyć na niego macierz i zobaczyć, czy to co wyjdzie będzie zerem. Jeśli tak, to ten wektor jest w jądrze, jeśli nie, to znaczy, że nie jest w jądrze.

Jak sprawdzić, czy jakiś wektor jest w obrazie? Obraz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A}\), to są wszystkie wektory postaci \(\displaystyle{ Av}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) jest dowolnym wektorem z przestrzeni (nazwijmy ją potocznie) argumentów - czyli jakby wyjściowej. Jeżeli będzie istniał jakiś wektor \(\displaystyle{ r\in\RR^5}\) taki że \(\displaystyle{ Ar = w}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ w}\) jest elementem obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ A}\).

Uwaga: \(\displaystyle{ \hbox{ker}F\subseteq \RR^3}\), natomiast \(\displaystyle{ \hbox{im}F\subseteq \RR^5}\).

Jeśli chodzi o wymiar, to \(\displaystyle{ \hbox{ker}F, \hbox{im}F}\) są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, więc wystarczy sprawdzić moc ich baz. Tak, w przypadku obrazu wystarczy policzyć rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\).

[engineeer]

Żeby sprawdzić, czy jakiś wektor jest w jądrze, trzeba nałożyć na niego macierz i zobaczyć, czy to co wyjdzie będzie zerem.

Głupio się przyznawać, ale nie do końca rozumiem, co to znaczy nałożyć macierz na ten wektor. Czy tu chodzi i zapisanie go jako macierz i dopisanie rzędu zer, czy o pomnożenie tego wektora przez macierz przekształceń o ile jest to możliwe ?

Co do obliczenia \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ kerF}\) - znalazłem taki oto wzór:

\(\displaystyle{ dimF}\) = \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ kerF}\) + \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ imF}\)

Czy \(\displaystyle{ dimF}\) oznacza ilość parametrów w macierzy przekształceń ?

[jutrvy]

Nałożenie wektora na macierz, to po prostu pomnożenie tego wektora lewostronnie przez macierz

Nie, wzór, który podałeś jest bez sensu

Powinien ob wyglądać tak: \(\displaystyle{ \hbox{dim}\RR^5 = \hbox{dim im}F + \hbox{dim ker}F}\).

\(\displaystyle{ \RR^5}\), bo nasze przekształcenie idzie z \(\displaystyle{ \RR^5}\) do \(\displaystyle{ \RR^3}\).