Wyznacznik macierzy trójprzekątniowej, wyznaczyć wzór ogólny

[wektor115]

Witam! Mam problem z następującym zadaniem:
Niech Dn będzie wyznacznikiem macierzy trójprzekątniowej
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&-1& & & & \\1&1&-1& & &\\&1&1&.& &\\&&.&.&.&\\&&&.&.&-1\\&&&&1&1\end{array}\right]}\)

Stosując rozwinięcie Laplace'a względem elementów pierwszego wiersza pokaż, że \(\displaystyle{ D_{n+2} = D_{n+1} + D_{n}}\)

Podaj ogólny, jawny wzór na wartość \(\displaystyle{ D_{n}}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)).

Pierwszą część zrobiłem, ale nie wiem co z wzorem ogólnym. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[wiedzmac]

Wzór wyznaczasz tak, że liczysz sobie co wychodzi dla macierzy \(\displaystyle{ 1 \times 1, 2 \times 2}\) i dalej dowodzisz indukcyjnie (pokaż że to będą liczby Fibonacciego) za pomocą tego wzorku który pokazałeś w pierwszej części zadania.

[wektor115]

niestety nie wiem jak się za to zabrać za bardzo. czy bazując na tym, że udowodniłem, że \(\displaystyle{ D_{n+2} = D_{n+1} + D _{n}}\) mogę napisać, że kolejne wyznaczniki są liczbami z ciągu Fibonacciego i wyznaczyć wzór na n-ty wyraz tego ciągu?
pozdrawiam

[wiedzmac]

Ale za co nie wiesz jak się zabrać skoro zadanie jest praktycznie skończone?

[wektor115]

jawny wzór na \(\displaystyle{ D_{n}}\)

[wiedzmac]

Nie sądzę żeby o to chodziło w tym zadaniu, ale o tym jak to możesz wyliczyć przeczytaj tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego

[wektor115]

okej, dzięki za pomoc