wartości i wektory własne

[dawidbrooklyn]

Witam,
zazwyczaj staram się sam dojść do sedna problemu, ale tym razem nie znam metody rozwiązywania przykładów tego typu, dlatego proszę o jej pokazanie, o ile jest taka możliwość. Celem zadań jest obliczenie wartości i wektorów własnych macierzy.

Przykład 1

\(\displaystyle{ J _{x} = \frac{h}{ \sqrt{2} }}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ J _{y} = \frac{h}{2}}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-i \sqrt{3} &0&0\\i \sqrt{3}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i \sqrt{3}
\\ 0&0&i \sqrt{3} &0 \end{bmatrix}}\)

Przykład 2

A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&4\\0&3&0\\1&0&1\end{bmatrix}}\)

B = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a& \sqrt{2}b &0\\\sqrt{2}b&a&\sqrt{2}b\\0&\sqrt{2}b&a\end{bmatrix}}\)


Od razu zaznaczę, że przygotowuję się do egzaminu i chciałbym nauczyć się rozwiązywać analogiczne przykłady, stąd też moja prośba.

Pozdrawiam i bardzo liczę na odpowiedź.

[wiedzmac]

Oblicz wielomian charakterystyczny (jak nie wiesz co to do doczytaj). Wartości własne to jego pierwiastki.

[InYourHead]

A wektory własne otrzymujesz tak, że podstawiasz kolejne wartości własne w miejsce \(\displaystyle{ \lambda}\) w macierzy początkowej i przyrównujesz taką macierz do 0, stąd np za pomocą Gaussa otrzymujesz pewien wektor z parametrami \(\displaystyle{ \alpha}\) (i może) \(\displaystyle{ \beta}\), za które podstawiasz zazwyczaj kombinację jedynek (i może zer, gdy masz jeszcze \(\displaystyle{ \beta}\)). To co Ci powstanie, po zrobieniu takich operacji dla każdej wartości własnej to są wektory własne.