Baza podprzestrzeni

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 14:49

Jak (ogólnie) wyznacza się bazę pod przestrzeni?
Czy baza podprzestrzeni to takie wektory które po pewnych przekształceniach są sobie równe?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 14:53

A jak masz zadaną tę podprzestrzeń? Znasz jej wymiar?`Co to znaczy, że wektory po pewnych przekształceniach będą równe?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 14 cze 2015, o 14:55

Ogólnie musisz wybrać tyle wektorów liniowo niezależnych z danej podprzestrzeni ile wynosi jej wymiar.

Jak to sobie równe? Czy wektory sobie równe mogą być liniowo niezależne, a co za tym idzie tworzyć bazę?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 14:57

Mogą, jeżeli jest ich \(\displaystyle{ k = 1}\).

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 15:08

Sprawdzić, czy następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\). Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ X=\left\{ v \in R ; v=[x1,x2,x3,x4] ^{T}, x1+x2+x3+x4=0 \right\}}\)

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 15:14

Podpowiem, że są. No to klasycznie: sprawdź, czy jeśli \(\displaystyle{ v, w \in X}\), to \(\displaystyle{ \alpha v + \beta w \in X}\) dla rzeczywistych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\).

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 15:31

ok, ale dalej nie wiem jak wyznaczyć bazy

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 16:11

Szukaj liniowo niezależnych wektorów, które należą do przestrzeni. Najpierw warto ustalić wymiar, to taka rada na przyszłość. Pierwszy wektor bazowy to może być \(\displaystyle{ [1,-1,0,0]^t}\). Znajdziesz następne?

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 16:18

Postaram się

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 14 cze 2015, o 16:22

Medea 2 pisze:Mogą, jeżeli jest ich \(\displaystyle{ k = 1}\).

No tak, ale wtedy mówimy o jednym wektorze, a nie wektorach

Medea 2 pisze:Szukaj liniowo niezależnych wektorów, które należą do przestrzeni. Najpierw warto ustalić wymiar, to taka rada na przyszłość. Pierwszy wektor bazowy to może być \(\displaystyle{ [1,-1,0,0]^t}\). Znajdziesz następne?

Mogę zapytać co dla Ciebie znaczy ta pitęga t?

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 16:33

Obliczyłem ze bazy to \(\displaystyle{ [-1,1,0,0]^T, [-1,0,1,0]^T, [-1,0,0,1]^T}\).
Dobrze?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 14 cze 2015, o 16:45

Tak. Te wektory są liniowo niezależne. Ponadto generują podprzestrzeń określoną wyżej, więc twórczej jej bazę.

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 16:57

Mógłbym prosić o dokładniejsze wskazówki jak sprawdzić czy zbiory są podprzestrzeniami liniowymi?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 14 cze 2015, o 17:02

Zostało to już napisane.

Medea 2 pisze: sprawdź, czy jeśli \(\displaystyle{ v, w \in X}\), to \(\displaystyle{ \alpha v + \beta w \in X}\) dla rzeczywistych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\).

Przeczytaj sobie definicje podprzestrzeni liniowej.

Zwykle podaje się tam dwa osobne warunki, których powyższy zapis jest połączeniem. Powinno się jeszcze uwzględnić sprawdzenie czy wektor zerowy nalezy do podprzestrzeni.

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 14 cze 2015, o 17:57

Czy macierz nieosobliwa ma wszystkie wektory liniowo niezależne?