Wektory własne

[inusia146]

Mam znaleźć wartości własne macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\-16&9\end{array}\right]}\) i podać przykład wektora własnego.
Wielomian charakterystyczny jest postaci \(\displaystyle{ \left( \lambda - 5 \right) ^{2}}\) zatem jedyną wartością własną macierzy jest \(\displaystyle{ \lambda = 5}\)
W celu znalezienia wektora własnego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-4&1\\-16&4\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)
I dostaję układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4x+y=0\\-16x+4y=0\end{cases}}\)
skąd wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=4x\\0=0\end{cases}}\)
Czy wynika stąd, że biorę dowolny wektor postaci: (x,4x)?
Zatem przykładowym wektorem dla tej wartości własnej jest v=(1,4)?
I jeszcze jedno pytanie: krotność algebraiczna tej wartości własnej to 2, a geometryczna to 1?

[Poszukujaca]

Tak. Bierzesz dowolny wektor postaci \(\displaystyle{ (x,4x)}\), ponieważ podprzestrzeń wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=5}\) to \(\displaystyle{ W=\left\{ (x,4x) \in R^{2}: x \in R\right\}}\)
\(\displaystyle{ x}\) traktujesz jako parametr, a wymiar tej podprzestrzeni to jeden.