baza ortogonalna względem funkcjonału dwuliniowego

[InYourHead]

Mam za zadanie za pomocą algorytmu Gramma-Schmidta, startując od bazy standardowej, znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) względem funkcjonału dwuliniowego, zadanego przez macierz

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&-1\\1&-1&3\end{array}\right]}\)

Macierz jest dodatnio określona, problem jest w tym, że nie wiem, jak zrobić takie zadanie. Gdybym miał wzór na funkcjonał dwuliniowy, to byłoby prostsze, jednak jak dzięki macierzy \(\displaystyle{ A}\) otrzymać wzór?

[blade]

Może tak :
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix}1\cdot x_1y_1&0 \cdot x_1y_2&1 \cdot x_1y_3\\0 \cdot x_2y_1&2 \cdot x_2y_2&(-1) \cdot x_2y_3\\1 \cdot x_3y_1&(-1)\cdot x_3y_2&3\cdot x_3y_3\end{matrix}\right]}\)
Potrafisz teraz rozpisać funkcję ?

[InYourHead]

Rzeczywiście, masz rację Rozumiem, że gdybym nie startował z bazy standardowej, to tutaj by się nic nie zmieniło, tylko w samym wyznaczaniu bazy?

[Barbara777]

Forma skojarzona z macierza \(\displaystyle{ B=(b_{ij})}\)ma postac

\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^nb_{ij}x_iy_j}\)
Rozpisz to sobie dla przypadku trojwymiarowego i dostaniesz zadany funkcjonal dwuliniowy.

[InYourHead]

Dziękuję, już rozumiem, cały czas myślałem, że jest tu coś podchwytliwego

[blade]

Jeśli startujesz z innej bazy niż kanoniczna (standardowa) to musisz skonstruować macierz przejścia :
\(\displaystyle{ \left( P_{B_k \rightarrow B_1}\right)^{-1} =P_{B_1 \rightarrow B_k}}\)
Później \(\displaystyle{ [v]_{B_1} = P_{B_1 \rightarrow B_k} \cdot \left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right] = X}\) (będzie to kolumna)
a na końcu \(\displaystyle{ f(x,y) = X^T \cdot A \cdot Y}\)
gdzie \(\displaystyle{ X^T}\) to wynik tego mnożenia (\(\displaystyle{ [v]_{B_1}}\)) który wyżej rozpisałem, zapisany jako wiersz, \(\displaystyle{ A}\) to dana macierz na początku zadania a \(\displaystyle{ Y}\) to wynik tego powyższego mnożenia macierzy, tylko zamiast zmiennej \(\displaystyle{ x}\) będzie \(\displaystyle{ y}\)
Jeśli się nie mylę