Dana jest macierz \(\displaystyle{ A = \left[ \begin{matrix}1&2&1\\2&-2&-2\\1&-2&1\end{matrix}\right]}\)
a)Znaleźć ortogonalną macierz \(\displaystyle{ P}\) i diagonalną \(\displaystyle{ D}\) taką, że \(\displaystyle{ D=P^TAP}\)
b)Formę kwadratową \(\displaystyle{ f(x)= X^T AX}\) sprowadzić do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a
Ad. b)
\(\displaystyle{ f(x) =x_1^2 +4x_1x_2 + 2x_1x_3 -2x_2^2 -4x_2x_3 + x_3^2 = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 4x_2^2 - x_3^2 - 4x_2x_3 - 2x_2^2 -4x_2x_3 +x_3^2 = (x_1')^2 - 6x_2^2 -8x_2x_3 = (x_1')^2 -6(x_2^2 - \frac{4}{3}x_2x_3)=(x_1')^2 -6(x_2-\frac{2}{3}x_3)^2 -\frac{8}{3}x_3^2 = (x_1')^2 - 6(x_2')^2 -\frac{8}{3}(x_3')^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1' = x_1 + 2x_2 +x_3 \\ x_2'=x_2-\frac{2}{3}x_3 \\ x_3'=x_3 \end{cases}}\)
Teraz Ad. a)
Próbuję to robić jakoś tak, ale nie bardzo znam ten schemat..
\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 1-\lambda&2&1\\2&-2-\lambda&-2\\1&-2&1-\lambda\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix}2-\lambda&2&1\\0&-2-\lambda&-2\\0&-4&0\lambda \end{matrix} \right| = (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +4)}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1 = 2 ; k_1 = 2 \\
\lambda_2 = -4}\)
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \\
\lambda_1 = 2 : \\
\left[ \begin{matrix}-1&2&1\\2&-4&-2\\1&-2&-1\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3\end{matrix}\right] = \vec{0}\\
y_1 = 2y_2 +y_3\\
V_{\lambda_1} = lin \{(2,1,0);(1,0,1)\}\\
e_1 = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0 \right) \\}\)
\(\displaystyle{ e_2 = \left( \frac{\sqrt{25}}{5\sqrt{22}}, \frac{-2\sqrt{25}}{5\sqrt{22}},\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{22}}\right)}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \\
V_{\lambda_2} = lin \{(-1,2,1)\}\\
e_3 =\left( \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)}\)
Czy mogę powiedzieć, że moje \(\displaystyle{ P=\left[ \begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{\sqrt{25}}{5\sqrt{22}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{-2\sqrt{25}}{5\sqrt{22}}&\frac{2}{\sqrt{6}}\\0&\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{22}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\end{matrix}\right]}\)
(straszne liczby wychodzą ...) jest macierzą ortogonalną ?
Jeśli tak, to jak znaleźć tą macierz diagonalną ?