warstwice funkcji

[ewelina_p]

Witam,
mam problem z rozwiązaniem zadania z egzaminu:
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[3]{ x^{2}+ y^{2}}}\) oraz punktu P=(2,2) znaleźć gradient f(P) oraz warstwicę tej funkcji przechodzącą w punkcie P.

Obliczyłam gradient -> [ \(\displaystyle{ frac{1}{3} , frac{1}{3}}\) ]
I tu zaczynają się schody.. Czy moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(2,2)=\sqrt[3]{ x^{2}+ y^{2}}=2}\)
\(\displaystyle{ W^{2} ={{(x,y):\sqrt[3]{ x^{2}+ y^{2}}=2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}=2}\)
...
\(\displaystyle{ y=\sqrt{8- x^{2} }}\)
jest poprawne?
Z góry dziękuję za pomoc

[Peter Zof]

Warstwica (dalej będę pisać poziomica) funkcji \(\displaystyle{ f: \RR^n \rightarrow \RR}\) to zbiór punktów:
\(\displaystyle{ \left\{ (x_{1},...,x_{n}) : f(x_{1},...,x_{n})=\lambda\right\}}\), dla pewnej stałej \(\displaystyle{ \lambda \in \RR}\).

Tak więcej u Ciebie należy znaleźć zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) takich, że \(\displaystyle{ f(x,y) = P(2,2)=2}\).

Mamy \(\displaystyle{ f(x,y)= \sqrt[3]{x^2+y^2}}\). więc należy rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2+y^2}=2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=8}\)

Tak wiec poziomicą funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y) : x^2+y^2 = 8\right\}}\)