Chciałem przyswoić sobie wszytkie metody sprowadzania formy do postaci kanonicznej, wybrałem jedną z form :
\(\displaystyle{ g(x, y, z) = 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4xy - 4xz + 2yz}\)
Metoda Lagrange'a :
\(\displaystyle{ g(x, y, z) = 4(x^2 -xy-xz) + 2y^2 +2z^2 +2yz = 4\left( x-\frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z\right) ^2 - y^2 - 2yz + 2y^2 +2z^2 +2yz = 4(x')^2 +y^2 +2z^2 = 4(x')^2 +(y')^2 + 2(z')^2}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \begin{cases} x'= x^2 -xy-xz\\ y'=y \\ z'=z \end{cases}}\)
Metoda Jacobiego:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix} 4&-2&-2\\-2&2&1\\-2&1&2\end{bmatrix}\right]}\)
Sprawdzam minory główne, czy są różne od zera :
\(\displaystyle{ A_0 :=1 \\
A_1 = 4 \\
A_2 = 4
A_3 = det A = 16 +4 +4 - 8 -4 -8 = 4}\)
\(\displaystyle{ g(x,y,z) = \frac{1}{4}(x')^2 + (y')^2 + (z')^2 \\
4\cdot p_{11} = 1 \\
p_{11} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4p_{21} -2 p_{22}=0 \\ -2p_{21} + 2p_{22}=1 \end{cases} \\
\begin{cases} p_{21} = \frac{1}{2} \\ p_{22}=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4p_{31} -2p_{32} -2p_{33} = 0 \\ -2p_{31} + 2 p_{32} + 1p_{33} = 0 \\ -2p_{31} + p_{32} +2p_{33} =1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} p_{31}= \frac{1}{2} \\ p_{32}= 0 \\ p_{33} = 1\end{cases}}\)
Dostaję macierz :
\(\displaystyle{ P = \left[ \begin{matrix}\frac{1}{4}&0&0 \\ \frac{1}{2}&1&0\\ \frac{1}{2} & 0 & 1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ A' = P^T \cdot A \cdot P = \left[ \begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 0&1&0\\ 0& 0 & 1\end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix} 4&-2&-2\\-2&2&1\\-2&1&2\end{bmatrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix}\frac{1}{4}&0&0 \\ \frac{1}{2}&1&0\\ \frac{1}{2} & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}\frac{3}{4}&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&2\end{matrix}\right] = \frac{3}{4}x^2 + 2y^2 +2z^2 +2xy + 2xz + 2yz}\)
Tutaj już widzę, że coś się nie zgadza, nie czaję jak mam to do końca doprowadzić ...
Metoda przekształceń ortogonalnych :
\(\displaystyle{ det(A - \lambda I ) = \left|\begin{matrix} 4-\lambda&-2&-2\\-2&2-\lambda&1\\-2&1&2-\lambda \end{matrix}\right| = \\= -\left( \lambda-\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{33}}{2}\right) \left( \lambda-\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{33}}{2}\right) (\lambda -1)}\)
Wolfram zwrócił coś takiego (:o)
\(\displaystyle{ \lambda_1 = \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{33}}{2}\\
\lambda_2 = \frac{7}{2}+\frac{\sqrt{33}}{2}\\
\lambda_3=1}\)
Więc już nie będzie tego liczył... Napiszę tylko co robię dalej :
wkładam wartości własne na przekątną w macierzy (tzn. po prostu wstawiam moją lambdę), mnożę przez kolumnę powiedzmy : \(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3 \end{matrix}\right]}\) i przyrównuję do \(\displaystyle{ 0}\)
To co dostanę zapisuję jako bazę i przeprowadzam ortogonalizację Grama-Schmidta robię to dla każdej lambdy i dostaję \(\displaystyle{ V_{\lambda_1} ; V_{\lambda_2} ; V_{\lambda_3}\)} i Zapisuję to jako jedną bazę \(\displaystyle{ B'=\left(V_{\lambda_1}, V_{\lambda_2},V_{\lambda_3} \right)}\)
Teraz tworzę macierz przejścia \(\displaystyle{ P_{B_{kan} \rightarrow B'}}\), którą po prostu jakby przepisuje, w sensie wektory bazy jako kolumny. Następnie ją odwracam prawdopodobnie \(\displaystyle{ P^{-1} = P^T}\).
Teraz zapisuję formę : \(\displaystyle{ g(x) = \lambda_1 (x')^2 +\lambda_2 (y')^2 + \lambda_3 (z')^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ x',y',z'}\) to wiersze \(\displaystyle{ P^{-1}}\)
(Chyba najgorsza metoda ever^^)
No więc, proszę o sprawdzenie poszczególnych metod : czy dobrze to robię ogólnie. No i prosiłbym też o rozwinięcie Metody Jacobiego (tam gdzie stanąłem w miejcu)
Z góry DZIĘKUJĘ!