Baza ortonormalna

[blade]

Znaleźć bazę ortonormalną w \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\) względem iloczynu skalarnego : \(\displaystyle{ \varphi(p,q)=\int_{-1}^1 p(t)q(t)dt}\)
\(\displaystyle{ v_1 = (1,1,1) \\
||v_1|| = \sqrt{\int_{-1}^1 (x^2 +x +1)^2 dx} = \sqrt{\frac{22}{5}} \\
e_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \left( \frac{5}{\sqrt{110}}, \frac{5}{\sqrt{110}},\frac{5}{\sqrt{110}}\right)\\

B_o = \left( \left( \frac{5}{\sqrt{110}}, \frac{5}{\sqrt{110}},\frac{5}{\sqrt{110}}\right) \right)}\)
Czy tak to ma wyglądać ? Dobry wektor \(\displaystyle{ v_1}\) wziąłem, bo wielomian stopnia co najwyżej drugiego to jest \(\displaystyle{ ax^2 +bx +c}\) to może powinienem rozpatrzeć wektory typu :
\(\displaystyle{ \begin{cases} v_1=(1,0,0) \\ v_2 = (0,1,0) \\ v_3 = (0,0,1) \end{cases} ?}\)
ale wtedy baza ortonormalna, to byłyby po prosu te wektory (bo \(\displaystyle{ v_1 \perp v_2, v_3}\) oraz \(\displaystyle{ v_2 \perp v_3}\) więc współczynniki \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) przy ortonormalizacji Grama-Schmidta będą równe zero), więc to nie miałoby chyba sensu ?

[a4karo]

Przestrzeń jest trójwymiarowa, więc baza ma mieć trzy elementy. Wektor \(\displaystyle{ v_2}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_3}\), ale czy te dwa są do siebie prostopadłe?
I czy maja normę 1?

[blade]

\(\displaystyle{ v_1 \circ v_3 = (1,0,0) \circ (0,0,1) = 1\cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \\
v_1 \perp v_3 \Leftrightarrow v_1 \circ v_3 = 0}\)
Czyż nie ?
\(\displaystyle{ ||v_1|| = \sqrt{v_1 \circ v_1} = \sqrt{1} = 1 \\
||v_2 || = 1\\
||v_3|| = 1\\}\)
Czegoś nie rozumiem ?

-- 12 cze 2015, o 12:23 --

Dobra, zapomniałem, już że mam zdefiniowany iloczyn skalarny

-- 12 cze 2015, o 12:38 --

\(\displaystyle{ \varphi(p,q)=\int_{-1}^1 p(t)q(t)dt}\)


\(\displaystyle{ e_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{(1,0,0)}{\sqrt{\left[ \frac{x^5}{5}\right]_{-1}^1 }} = \frac{(1,0,0)}{\sqrt{\frac{2}{5}}} = \left( \frac{\sqrt{10}}{2},0,0\right)}\)

\(\displaystyle{ w_2 = (0,1,0) - \alpha e_1}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{10}}{2}x^3 dx = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot 0 =0}\)
itd..
Teraz będzie dobrze ?

[a4karo]

jak itd będzie dobrze, to będzie dobrze