Macierz nieosobliwa i diagonalna

[robertos18]

Majać macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]}\)
Musze znalezc \(\displaystyle{ C,D}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\)jest macierzą nieosobliwą a \(\displaystyle{ D}\) diagonalną , spełniającą równość \(\displaystyle{ D=C ^{-1}AC}\) nastepnie policzyc wartośc potęgi \(\displaystyle{ A ^{16}}\)
Oblicze wartości własne:
\(\displaystyle{ A-\Lambda \cdot I=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\Lambda&0\\0&\Lambda\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ (2-\Lambda-1)(2-\Lambda+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-\Lambda)(3-\Lambda)=0}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
Teraz wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2-1&1\\1&2-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A_{\Lambda}X=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi ze:
\(\displaystyle{ y= \alpha}\)
\(\displaystyle{ x+\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ x=-\alpha}\)

wektory:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-\alpha\\ \alpha\end{array}\right]}\)

Dla\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1\\1&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)

wektory: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\)

Czyli wspolrzedne wektorow wlasnych to ;
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Rozumiem ze obliczylem macierz diagonalna? Jesli nie to jak wyglada dalej algorytm?

[Rissiel]

Chwila chwila. Jak wyznaczasz wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

[ZF+GCH]

Wartości własne są ok. Zastosowano wzór na różnicę kwadratów.

[Rissiel]

Przepraszam, musiało mi coś umknąć.

[Igor V]

Natomiast macierz policzona to macierz przejścia \(\displaystyle{ C}\) ,a macierz diagonalna \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\end{array}\right]}\)

Warto pamiętać że macierz jest diagonalizowalna ,gdy po pierwsze wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki liniowe ,a po drugie wymiar przestrzeni własnej odpowiadający danemu wektorowi musi być równy krotności pierwiastka.

[robertos18]

Jeżeli chce przedstawic \(\displaystyle{ A=CDC^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&-1\end{array}\right] \cdot - \frac{1}{2}}\)
Dobrze?