Podać przykład takiej macierzy wierszowo stochastycznej \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}}\), która ma dokładnie cztery wartości własne na okręgu spektralnym. Wyznaczyć (podać) spektrum tej macierzy. Czy rząd tej macierzy musi wynosić cztery? Udowodnić lub podać kontrprzykład.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\0&-1&0&2&0\\2&0&0&-1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\end{array}\right]}\) spełnia warunki zadania, ale znalazłem ją z pomocą matlaba (wyliczenie wartości własnych) oraz kilkudziesiędziu minut przy zeszycie
jest jakiś szybki patent na tego typu zadanie (pojawiało się ono na egzaminie więc raczej nie chodzi o mozolne szukanie i mnóstwo obliczeń)
ta konkretna macierz ma rząd równy 4, ale nie wiem czy jest to reguła czy można podać kontrprzykład.
jak znaleźć macierz
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
jak znaleźć macierz
Zwykle o macierzy stochastycznej zakłada się, że jej wyrazy są dodatnie, nie tylko że sumują się do jedynki po wierszach lub kolumnach.
Czy wartości własne muszą być różne? Łatwo podać przykład, w którym \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\) są podwójnymi wartościami własnymi. Ja bym podał coś takiego:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\end{array}\right]}\)
Ostatni wiersz jest kopia pierwszego, by zapewnić zerowanie się wyznacznika, a więc niższy niż \(\displaystyle{ 5}\) rząd (może być kopią dowolnego rzędu).
Jeżeli wartości własne muszą być istotnie różne, to zamiast jednej podmacierzy \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ 2\times 2}\), mającej na przeciwdiagonali jedynki, należy znaleźć inną macierz, która wygeneruje na przykład \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\). To ostatnie to idea, która pozwoliła mi znaleźć powyższą pięciowymiarową macierz.
Czy wartości własne muszą być różne? Łatwo podać przykład, w którym \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\) są podwójnymi wartościami własnymi. Ja bym podał coś takiego:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\end{array}\right]}\)
Ostatni wiersz jest kopia pierwszego, by zapewnić zerowanie się wyznacznika, a więc niższy niż \(\displaystyle{ 5}\) rząd (może być kopią dowolnego rzędu).
Jeżeli wartości własne muszą być istotnie różne, to zamiast jednej podmacierzy \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ 2\times 2}\), mającej na przeciwdiagonali jedynki, należy znaleźć inną macierz, która wygeneruje na przykład \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\). To ostatnie to idea, która pozwoliła mi znaleźć powyższą pięciowymiarową macierz.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
jak znaleźć macierz
Rząd się wyznacza na ulubiony przez Ciebie sposób. Łatwo udowodnić, że Twoja macierz jest rzędu \(\displaystyle{ 4}\). Moja też.Yelon pisze:a jak jest z tym rzędem? da się jakoś pokazać czy zawsze jest równy 4?
- Yelon
- Użytkownik
- Posty: 560
- Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 67 razy
jak znaleźć macierz
rozumiem, źle się wyraziłem. w zadaniu jest pytanie o to czy każda taka macierz spełniająca zadanie, Twoja, moja, każda inna, czy zawsze będzie mieć rząd równy 4. udowodnić lub podać kontrprzykład
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
jak znaleźć macierz
Nie widzę powodu, dla którego rząd zawsze ma być równy \(\displaystyle{ 4}\).
Twoja macierz ma zerową kolumnę, moja kopię wiersza. Wystarczyłoby więc dodać taką modyfikację, która sprawi, że macierz ma niezerowy wyznacznik. Spróbuj poszukać przykładu trójwymiarowego (powinien być łatwiejszy), a potem "przenieść" na pięciowymiarowy, ustawiając macierz blokową, w której jeden blok to macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\), drugi \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) to blok z mojej macierzy. To tylko luźny pomysł.
Twoja macierz ma zerową kolumnę, moja kopię wiersza. Wystarczyłoby więc dodać taką modyfikację, która sprawi, że macierz ma niezerowy wyznacznik. Spróbuj poszukać przykładu trójwymiarowego (powinien być łatwiejszy), a potem "przenieść" na pięciowymiarowy, ustawiając macierz blokową, w której jeden blok to macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\), drugi \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) to blok z mojej macierzy. To tylko luźny pomysł.