jak znaleźć macierz

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: Yelon »

Podać przykład takiej macierzy wierszowo stochastycznej \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}}\), która ma dokładnie cztery wartości własne na okręgu spektralnym. Wyznaczyć (podać) spektrum tej macierzy. Czy rząd tej macierzy musi wynosić cztery? Udowodnić lub podać kontrprzykład.

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\0&-1&0&2&0\\2&0&0&-1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\end{array}\right]}\) spełnia warunki zadania, ale znalazłem ją z pomocą matlaba (wyliczenie wartości własnych) oraz kilkudziesiędziu minut przy zeszycie

jest jakiś szybki patent na tego typu zadanie (pojawiało się ono na egzaminie więc raczej nie chodzi o mozolne szukanie i mnóstwo obliczeń)

ta konkretna macierz ma rząd równy 4, ale nie wiem czy jest to reguła czy można podać kontrprzykład.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: yorgin »

Zwykle o macierzy stochastycznej zakłada się, że jej wyrazy są dodatnie, nie tylko że sumują się do jedynki po wierszach lub kolumnach.

Czy wartości własne muszą być różne? Łatwo podać przykład, w którym \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\) są podwójnymi wartościami własnymi. Ja bym podał coś takiego:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\end{array}\right]}\)
Ostatni wiersz jest kopia pierwszego, by zapewnić zerowanie się wyznacznika, a więc niższy niż \(\displaystyle{ 5}\) rząd (może być kopią dowolnego rzędu).

Jeżeli wartości własne muszą być istotnie różne, to zamiast jednej podmacierzy \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ 2\times 2}\), mającej na przeciwdiagonali jedynki, należy znaleźć inną macierz, która wygeneruje na przykład \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\). To ostatnie to idea, która pozwoliła mi znaleźć powyższą pięciowymiarową macierz.
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: Yelon »

właśnie nie wiem czy te wartości muszą być istotnie różne. a jak jest z tym rzędem? da się jakoś pokazać czy zawsze jest równy 4?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: yorgin »

Yelon pisze:a jak jest z tym rzędem? da się jakoś pokazać czy zawsze jest równy 4?
Rząd się wyznacza na ulubiony przez Ciebie sposób. Łatwo udowodnić, że Twoja macierz jest rzędu \(\displaystyle{ 4}\). Moja też.
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: Yelon »

rozumiem, źle się wyraziłem. w zadaniu jest pytanie o to czy każda taka macierz spełniająca zadanie, Twoja, moja, każda inna, czy zawsze będzie mieć rząd równy 4. udowodnić lub podać kontrprzykład
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

jak znaleźć macierz

Post autor: yorgin »

Nie widzę powodu, dla którego rząd zawsze ma być równy \(\displaystyle{ 4}\).

Twoja macierz ma zerową kolumnę, moja kopię wiersza. Wystarczyłoby więc dodać taką modyfikację, która sprawi, że macierz ma niezerowy wyznacznik. Spróbuj poszukać przykładu trójwymiarowego (powinien być łatwiejszy), a potem "przenieść" na pięciowymiarowy, ustawiając macierz blokową, w której jeden blok to macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\), drugi \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) to blok z mojej macierzy. To tylko luźny pomysł.
ODPOWIEDZ