nieredukowalna macierz stochastyczna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

nieredukowalna macierz stochastyczna

Post autor: Yelon »

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie nieredukowalną macierzą wierszowo stochastyczną stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pokazać, że rząd \(\displaystyle{ I - P}\) jest równy \(\displaystyle{ n-1}\). Podać macierz redukowalną, reszta zadania taka sama, przy której warunek z tezy nie zachodzi.

Przejrzałem cały wykład z algebry liniowej ale nie moge znaleźć wskazówki jak się za to zabrać

;edit;

trochę wykombinowałem:

macierz \(\displaystyle{ P}\) możemy zapisać w rozkładzie Jordana, czyli \(\displaystyle{ P = Q \cdot J \cdot Q ^{-1}}\)
ale przecież \(\displaystyle{ I=Q \cdot Q ^{-1}}\).
więc można napisać, że \(\displaystyle{ I-P}\) to inaczej \(\displaystyle{ Q(I-J)Q ^{-1}}\).

i teraz muszę skorzystać z czegoś, co znalazłem w internecie (na wykładzie tego nie znalazłem), a nie umiem tego udowodnić.

Mianowicie, skoro \(\displaystyle{ P}\) jest stochastyczna, to wiemy z Tw. Frobeniusa - Perrona i paru innych faktów, że jedną z wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ P}\) jest \(\displaystyle{ 1}\), i że ma wartość algebraiczną równą jeden. Czyli macierz Jordana, ma na przekątnej jakąś jedynkę i inne \(\displaystyle{ \lambda _{2} ,..., \lambda _{n}}\). Więc jeśli odejmiemy ją od identycznościowej to jedna jedynka (na którymś miejscu) się odejmie i wyzeruje, a reszta będzie postaci \(\displaystyle{ 1 - \lambda _{i}}\), no i ten zerowy wiersz robi nam rząd równy \(\displaystyle{ n-1}\).

Dobrze to?
ODPOWIEDZ