Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie nieredukowalną macierzą wierszowo stochastyczną stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pokazać, że rząd \(\displaystyle{ I - P}\) jest równy \(\displaystyle{ n-1}\). Podać macierz redukowalną, reszta zadania taka sama, przy której warunek z tezy nie zachodzi.
Przejrzałem cały wykład z algebry liniowej ale nie moge znaleźć wskazówki jak się za to zabrać
;edit;
trochę wykombinowałem:
macierz \(\displaystyle{ P}\) możemy zapisać w rozkładzie Jordana, czyli \(\displaystyle{ P = Q \cdot J \cdot Q ^{-1}}\)
ale przecież \(\displaystyle{ I=Q \cdot Q ^{-1}}\).
więc można napisać, że \(\displaystyle{ I-P}\) to inaczej \(\displaystyle{ Q(I-J)Q ^{-1}}\).
i teraz muszę skorzystać z czegoś, co znalazłem w internecie (na wykładzie tego nie znalazłem), a nie umiem tego udowodnić.
Mianowicie, skoro \(\displaystyle{ P}\) jest stochastyczna, to wiemy z Tw. Frobeniusa - Perrona i paru innych faktów, że jedną z wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ P}\) jest \(\displaystyle{ 1}\), i że ma wartość algebraiczną równą jeden. Czyli macierz Jordana, ma na przekątnej jakąś jedynkę i inne \(\displaystyle{ \lambda _{2} ,..., \lambda _{n}}\). Więc jeśli odejmiemy ją od identycznościowej to jedna jedynka (na którymś miejscu) się odejmie i wyzeruje, a reszta będzie postaci \(\displaystyle{ 1 - \lambda _{i}}\), no i ten zerowy wiersz robi nam rząd równy \(\displaystyle{ n-1}\).
Dobrze to?