Dopełnienie ortogonale podprzestrzeni

[alchem]

Opisz (np poprzez podanie bazy) podprzestrzeń \(\displaystyle{ V^{ort}}\) w \(\displaystyle{ R^4}\) będącą dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni \(\displaystyle{ V=lin{[1,-2,2.-3],[2,-3,2,4]}}\) względem zwykłego iloczynu skalarnego. Znajdź rozkład wektora \(\displaystyle{ [1,1,1,1]}\) na składowe z \(\displaystyle{ V}\)
i \(\displaystyle{ V^{ort}}\).
Czyli muszę znaleźć jakieś dwa wektory prostopadłe do \(\displaystyle{ [1,-2,2.-3],[2,-3,2,4]}\). Biorę np
\(\displaystyle{ [1,0,0,0],[0,1,0,0]}\) i je ortogonalizuję przez Grama Schmidta. Tylko czy jeśli np biorę \(\displaystyle{ [1,-2,2,-3]}\) to stosując Grama Schmidta muszę uwzględnić wektor \(\displaystyle{ [2,-3,2,4]}\), który jest już prostopadły do \(\displaystyle{ [1,-2,2,-3]}\) czy już go nie ruszam?
I nie mogę zacząć ortogonalizacji od wersorów które dopisałem, prawda?


Co do pierwszego pytania to wychodzi że jeśli robię Grama Schmidta to wektorów prostopadłych to się one nie zmieniają. ale co do mojego stwierdzenia nie jestem pewien, że nie mogę acząć ortogonalizacji od wersorów które dopisałem.

[blade]

Nie jestem do końca pewien, więc proszę mnie poprawić jeśli źlę mówię
\(\displaystyle{ V=lin{[1,-2,2.-3],[2,-3,2,4]}}\)
oznaczam przez \(\displaystyle{ v_1 = [1,-2,2.-3] ; v_2=[2,-3,2,4]}\)
\(\displaystyle{ w \in V^{\perp}}\) ; \(\displaystyle{ w=(x,y,z,t}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} w \circ v_1 = 0 \\ w \circ v_2 = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y +2z -3t = 0 \\ 2x-3y+2z+4t=0 \end{cases}}\)
Rozwiązać ten układ równań, prawdopodobnie dostaniesz \(\displaystyle{ 2}\) parametry i utworzysz z tego powłokę liniową, a jak chcesz bazę, to wystarczy sprawdzić czy te dwa wektory są liniowo niezależne. Mam nadzieję, że nie wprowadzam w błąd i pomogłem

[alchem]

wychodzi \(\displaystyle{ x=2z-17t}\) i \(\displaystyle{ y=2z-10t}\)
czyli wektory które spełniają te równania powinny być prostopadłe zarówno do \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) i tak jest biorę \(\displaystyle{ z=1}\) i \(\displaystyle{ t=0}\) dostaję wektor \(\displaystyle{ [2,2,1,0]}\), który jest prostopadły do \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) ale 4 wektor muszę szukać "ręcznie" albo jakimś układem równań tez by wyszło(w \(\displaystyle{ R^3}\) by zadziałało bez problemu), , ale w \(\displaystyle{ R^4}\) jest trochę zachodu jest, i
chciałbym się jeszcze dowiedzieć się czy mój sposób jest ok? Bo jeśli tak to od razu dostaję wektory prostopadłe do siebie

[blade]

wychodzi \(\displaystyle{ x=2z-17t}\) i \(\displaystyle{ y=2z-10t}\)
czyli wektory które spełniają te równania powinny być prostopadłe zarówno do \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) i tak jest biorę \(\displaystyle{ z=1}\) i \(\displaystyle{ t=0}\) dostaję wektor \(\displaystyle{ [2,2,1,0]}\), który jest prostopadły do \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) ale 4 wektor muszę szukać "ręcznie" albo jakimś układem równań tez by wyszło(w \(\displaystyle{ R^3}\) by zadziałało bez problemu), , ale w \(\displaystyle{ R^4}\) jest trochę zachodu jest

Dostałeś \(\displaystyle{ x=2z-17t}\) oraz \(\displaystyle{ y=2z-10t}\) \(\displaystyle{ z,t \in \RR}\)
Zatem masz \(\displaystyle{ V^{\perp} = \{(2z -17t, 2z-10t,z,t) : z,t \in \RR\} = lin \{(2,2,1,0),(-17,-10,0,1)\}}\)
I to juz jest koniec, bo \(\displaystyle{ \dim V + \dim V^{\perp} = 4}\) Jeśli się nie mylę, więc nic ręcznie nie musisz szukać.
A co do drugiego pytania, to istnieje inna metoda, pozwolę sobie zacytować, yorgin :

Podejrzewam, że zastosowano metodę bardzo toporną. Mianowicie uzupełniamy wektory do bazy (zgadujemy dowolny liniowo niezależny z danymi) oraz następnie dokonujemy ortogonalizacji tego ostatniego.

[alchem]

Ta "toporna" metoda to właśnie metoda Grama Schmidta.
Ale zauważ że wektory \(\displaystyle{ (2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}\) nie są do siebie prostopadłe więc \(\displaystyle{ lin \{(2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}\) nie jest dopełnieniem ortogonalnym.

[blade]

Ale zauważ że wektory \(\displaystyle{ (2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}\) nie są do siebie prostopadłe więc \(\displaystyle{ lin \{(2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}\) nie jest dopełnieniem ortogonalnym.

I co z tego, że nie są prostopadłe ?
cytuję definicję z wikipedii :

Dopełnienie ortogonalne podzbioru A przestrzeni V z określonym iloczynem skalarnym - zbiór wszystkich elementów w przestrzeni V, które są ortogonalne do każdego elementu zbioru A.

Ma być ortogonalne do każdego elementu podzbioru \(\displaystyle{ A}\) (Twoje \(\displaystyle{ V}\)) a nie ortogonalne do innych elementów z szukanego dopełnienia.
Inaczej :
Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\), w której zawiera się zbiór \(\displaystyle{ V}\) w tej przestrzeni zawiera się także dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ V - V^{\perp}}\)
Musi zachodzić coś takiego :
\(\displaystyle{ \forall_{D\in V^{\perp}} \forall_{F\in V} : D \circ F = \vec{0}}\)

Czyli, że jeśli wezmę dowolny element (wektor) z mojego dopełnienia ortogonalnego, to będzie on prostopadły do dowolnego elementu z podzbioru pewnej przestrzeni, którego dopełnienie znalazłem.
Myślę, że dobrze to wytłumaczyłem, aczkolwiek nie jestem najbardziej kompetentnym źródłem wiedzy na tym forum, więc nie biorę za to odpowiedzialności -- 10 cze 2015, o 18:40 --A co do :

Ta "toporna" metoda to właśnie metoda Grama Schmidta.

Ortogonalizacja Grama-Schmidta służy przekształcania zbioru wektorów liniowo niezależnych w zbiór wektorów ortogonalnych. Dopełnienie ortogonalne to nie to samo (patrz definicja wyżej)

[alchem]

No to teraz wszystko jasne z tym dopełnieniem, dzięki za pomoc.