Odwzorowanie liniowe i podprzestrzeń

[Poszukujaca]

Niech \(\displaystyle{ X(K), Z(K)}\) będą przestrzeniami liniowymi, a \(\displaystyle{ f}\) odwzorowaniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Z}\).
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenią liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ X(K)}\), to zbiór \(\displaystyle{ f(Y)}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ f(X)(K)}\).

Robię tak:
Wiemy, że \(\displaystyle{ \forall_{\alpha, \beta \in K} \forall_{x_{1}, x_{2} \in Y }: \alpha \cdot x +\beta \cdot y \in Y}\), bo \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenią.
Jeśli \(\displaystyle{ x_{1} \in Y}\), to \(\displaystyle{ f(x_{1})=y_{1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y_{1} \in f(Y)}\).
Jeśli \(\displaystyle{ x_{2} \in Y}\), to \(\displaystyle{ f(x_{2})=y_{2}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y_{2} \in f(Y)}\).

Teraz: \(\displaystyle{ f(\alpha x_{1}+\beta x_{2})=\alpha f(x_{1})+\beta f(x_{2})=\alpha y_{1} + \beta y_{2} \Rightarrow \left( \left(\alpha y_{1} + \beta y_{2} \right) \in f(Y) \right)}\)

Dobrze?

[leg14]

Dobrze