obraz i jądro

[robertos18]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\) z bazą standardową \(\displaystyle{ (e _{1}\ e _{2}\ e _{3}\ e _{4})}\) endomorfizm \(\displaystyle{ f}\) zadany jest następująco:
\(\displaystyle{ f(e _{1})=e _{1}- e _{2}+ e _{3}- e _{4},f(e _{2})=2e _{1}- 3e _{3},f(e _{3})=3e _{2}-2e _{3}+e _{4},f(e _{4})=0}\)
Wyznaczyć: baze \(\displaystyle{ Ker\ f}\),bazę \(\displaystyle{ Im\ f}\) oraz \(\displaystyle{ f ^{-1}\begin{bmatrix} 4\\1\\-3\\-1\end{bmatrix}}\)

[ZF+GCH]

Dowolny \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^4}\) jest więc postaci \(\displaystyle{ \alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3+\alpha_4 e_4}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i, i=1,..,4}\) są wyznaczone jednoznacznie. Zapisz zatem na początek, ile wynosi \(\displaystyle{ f(\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3+\alpha_4 e_4)}\).