Forma dwuliniowa jako przestrzeń liniowa K^2

[SherlockH]

Mam daną formę dwuliniową: \(\displaystyle{ \Phi (x,y)=(x_1-y_2)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)}\). Należy sprawdzić czy tworzy przestrzeń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ V=k^2}\)
wiec należy sprawdzić czy mamy domkniętość ze względu na dodawanie wektorów i mnozenie przez skalar. Czy robi się to tak:
\(\displaystyle{ \Phi([x,y]+[a,b])=\Phi([x+a,y+b])=(x_1+a_1 -y_2-b_2)^2}\)?

[yorgin]

Należy sprawdzić czy tworzy przestrzeń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ V=k^2}\)

Co tworzy przestrzeń liniową? Co to jest \(\displaystyle{ k^2}\)?

wiec należy sprawdzić czy mamy domkniętość ze względu na dodawanie wektorów i mnozenie przez skalar.

To są warunki na podprzestrzeń, nie przestrzeń.

Czy robi się to tak:
\(\displaystyle{ \Phi([x,y]+[a,b])=\Phi([x+a,y+b])=(x_1+a_1 -y_2-b_2)^2}\)?

Co Ty próbujesz pokazać? Póki co ja nawet nie wiem, jaka jest treść zadania.

[SherlockH]

Pytanie czy dana forma dwuliniową przenosi(? )wektory na przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V=K^2}\), gdzie K jest dowolnym ciałem. Wiem ze to nie wszystkie warunki, ale sprawdzenie każdego jest podobne.

[ZF+GCH]

Jak rozumieć \(\displaystyle{ \Phi}\)? Mnożysz różnice wektorów. (Chyba, że chcesz powiedzieć, że \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) to współrzędne liczbowe w jakiejś bazie). Oznacza to, że mnożysz wektory. Załóżmy, że \(\displaystyle{ W=\mathbb{R}^2}\), gdzie \(\displaystyle{ dom(\Phi)=W^2}\). Wtedy \(\displaystyle{ rng(\Phi) \subset \mathbb{R}}\). Natomiast \(\displaystyle{ \Phi}\) okazuje się wtedy nie być liniowe.
Gdy \(\displaystyle{ W=\mathbb{C}^2}\), to \(\displaystyle{ \Phi}\) również nie jest liniowe, natomiast jego wartości są w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), o którym możemy myśleć jako o \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), więc wtedy można powiedzieć, że wartości są w \(\displaystyle{ \mathbb{K}^2}\) dla pewnego ciała \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\).
Dowiedz się dokładnie jaka ma być treść, bo tak to nic sensownego nie można z tym zrobić.

[SherlockH]

Więc profesor mówił, żeby sprawdzić liniowość na pierwszym składniku.Więc dla konkretnych punktów \(\displaystyle{ \Phi (2[1,2],[2,3])=1 \neq 2\Phi([1,2],[2,3])=8}\). Jednak nie do końca wiem jak to pokazuje, że nie tworzy przestrzeni liniowej. Na podstawie tego macie jakąś wskazówke?

[ZF+GCH]

Czyli dziedziną \(\displaystyle{ \Phi}\) jest w końcu \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2}\) ?? Na obu współrzędnych nie ma liniowości w bardzo prosty sposób. Nadal nie wyjaśniłeś co ma tworzyć przestrzeń liniową.

[SherlockH]

Dziedziną są dowolne ciała \(\displaystyle{ K^2 \times K^2}\). Obraz formy dwuliniowej ma tworzyć przestrzeń wektorową (o ile o to ma sens)

[ZF+GCH]

No to w takim razie zastanów się jakie liczby możesz otrzymać, gdy \(\displaystyle{ K=\mathbb{R}}\), a jakie, gdy \(\displaystyle{ K=\mathbb{C}}\). To jest proste. Podpowiem, że w pierwszym przypadku obraz nie tworzy przestrzeni liniowej, w drugim tworzy.

[SherlockH]

Przy rzeczywistych rzeczywiste. Przy zespolonych zespolone,ale jak pisałeś \(\displaystyle{ \CC}\) można rozumieć jako \(\displaystyle{ \RR^2}\)

[ZF+GCH]

Ale to nie jest wystarczająca odpowiedź. Skup się na początek na przypadku rzeczywistym. Czy np. zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ ([1,10])}\) jest przestrzenią liniową? Napisz dokładnie jaki jest obraz odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi}\), gdy ciałem jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[yorgin]

Obraz formy dwuliniowej ma tworzyć przestrzeń wektorową (o ile o to ma sens)

Ale \(\displaystyle{ \Phi}\) nie jest formą dwuliniową, więc zadanie nie ma sensu w ogóle.