Niech \(\displaystyle{ U = lin\left\{ (0, 1, 1), (0, 1, 0)\right\} , V = lin\left\{ (1, 1, 1)\right\} , W = lin\left\{ (1, 0, 1)\right\}}\).
Czy \(\displaystyle{ \RR^3 = U +V +W?}\)
Czy \(\displaystyle{ \RR^3 = U \oplus V \oplus W?}\)
Znalezc \(\displaystyle{ U \cap V , U \cap W, V \cap W}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V \cap W}\)
Zacznę od końca
\(\displaystyle{ U \cap V = U \cap W = V \cap W = \{\vec{0}\}}\) Bo są liniowo niezależne
A to implikuje \(\displaystyle{ U \cap V \cap W = \{\vec{0}\}}\)
\(\displaystyle{ U+V+W = \{w = u + v +w = \alpha (0,1,1) +\beta (0,1,0) + \gamma(1,1,1) + \delta(1,0,1) : \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \RR \}= lin\{(0,1,1),(0,1,0),(1,1,1),(1,0,1)\}}\)
Zatem więc wymiar jest równy \(\displaystyle{ 4}\) ? Hmm chyba nie, bo \(\displaystyle{ (1,1,1) = (1,0,1) + (0,1,0)}\) więc bazą będzie \(\displaystyle{ B=((0,1,1),(1,0,1),(0,1,0))}\) więc wymiar jest równy \(\displaystyle{ 3}\) zatem \(\displaystyle{ \RR^3 = U+V+W}\)
Zgadza się ?
A jeśli chodzi o sumę prostą
to trzeba rozważyć chyba \(\displaystyle{ (U\oplus V) \cap W, (U\oplus W) \cap V, (W\oplus V)\cap U?}\)
Przecięcia w nawiasach są wektorami zerowymi więc mogę po prostu dodać, a wtedy żadne z powyższych nie będzie równe wektorowi zerowemu, więc co wtedy? Wydaje się, że to będzie równe \(\displaystyle{ \RR^3}\) ale cały problem leży w zapisie, nie wiem jak robić zadania tego typu, bo nie było tego zbyt wiele na ćwiczeniach. Byłbym wdzięczny jeśli ktoś rozpisałby całe to zadanie od zera, żebym wiedział jak to ma wyglądać. Z góry dziękuję.