Znaleźć sumę powłok linowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć sumę powłok linowych

Post autor: blade »

Znaleźć \(\displaystyle{ U_1 + U_2}\)
\(\displaystyle{ U_1 = lin \{(1,1,-1,-1),(-2,-1,0,2)\}, U_2 = lin \{(2,2,-1,0), (-1,-2,-3,-4)\}\\
U_1 + U_2 = \{w= u_1 + u_2 = \alpha(1,1,-1,-1) + \beta(-2,-1,0,2) + \gamma(2,2,-1,0) + \delta(-1,-2,-3,-4) : \alpha,\beta,\gamma, \delta \in \RR \} = lin \{(1,1,-1,-1),(-2,-1,0,2),(2,2,-1,0), (-1,-2,-3,-4)\}}\)

O to w tym chodzi?

Jeszcze jedno pytanie jeśli mam :
\(\displaystyle{ U=lin\{(0,1,1),(0,1,0)\}, V=lin\{(1,1,1)\}, W=lin\{(1,0,1)\}}\)
To żeby sprawdzić czy \(\displaystyle{ U+V+W = \RR^3}\) muszę sprawdzić czy jest liniowo niezależne, zgadza się ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę powłok linowych

Post autor: yorgin »

blade pisze:Znaleźć \(\displaystyle{ U_1 + U_2}\)
\(\displaystyle{ U_1 = lin \{(1,1,-1,-1),(-2,-1,0,2)\}, U_2 = lin \{(2,2,-1,0), (-1,-2,-3,-4)\}\\
U_1 + U_2 = \{w= u_1 + u_2 = \alpha(1,1,-1,-1) + \beta(-2,-1,0,2) + \gamma(2,2,-1,0) + \delta(-1,-2,-3,-4) : \alpha,\beta,\gamma, \delta \in \RR \} = lin \{(1,1,-1,-1),(-2,-1,0,2),(2,2,-1,0), (-1,-2,-3,-4)\}}\)

O to w tym chodzi?
Tak. Warto sprawdzić, czy wszystkie wektory są liniowo niezależne, bo wtedy wiadomo, że suma algebraiczna jest rozpinana przez wszystkie cztery wektory.
blade pisze: Jeszcze jedno pytanie jeśli mam :
\(\displaystyle{ U=lin\{(0,1,1),(0,1,0)\}, V=lin\{(1,1,1)\}, W=lin\{(1,0,1)\}}\)
To żeby sprawdzić czy \(\displaystyle{ U+V+W = \RR^3}\) muszę sprawdzić czy jest liniowo niezależne, zgadza się ?
Raczej liniowo niezależnie nie będą. Masz cztery wektory w przestrzeni trójwymiarowej, więc któryś będzie liniowo zależny z innym. Tutaj na przykład widać, że \(\displaystyle{ V\subset W+U}\).
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć sumę powłok linowych

Post autor: blade »

yorgin pisze:
blade pisze: Jeszcze jedno pytanie jeśli mam :
\(\displaystyle{ U=lin\{(0,1,1),(0,1,0)\}, V=lin\{(1,1,1)\}, W=lin\{(1,0,1)\}}\)
To żeby sprawdzić czy \(\displaystyle{ U+V+W = \RR^3}\) muszę sprawdzić czy jest liniowo niezależne, zgadza się ?
Raczej liniowo niezależnie nie będą. Masz cztery wektory w przestrzeni trójwymiarowej, więc któryś będzie liniowo zależny z innym. Tutaj na przykład widać, że \(\displaystyle{ V\subset W+U}\).
Tak, tak wiem. Raczej chodziło mi o to, by to określić, czy \(\displaystyle{ U+V+W = \RR^3}\) już abstrahując od tego czy to widać czy nie. Bo wtedy jako powłokę liniową mógłbym sobie zapisać te cztery wektory - nic nie szkodzi (chyba, tak?), ale żeby określić czy to się \(\displaystyle{ =\RR^3}\) to muszę określić czy są liniowo niezależne - jeśli nie, to usuwam jeden i sprawdzam liniową niezależność dla 3 pozostałych, a jeśli się zgadza to znaczy, że równość jest spełniona.
Tak ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę powłok linowych

Post autor: yorgin »

blade pisze:Bo wtedy jako powłokę liniową mógłbym sobie zapisać te cztery wektory - nic nie szkodzi (chyba, tak?),
Nic nie szkodzi. Można również napisać, że \(\displaystyle{ \RR=\Lin\RR}\) i nikt nie ma prawa Ci tego skreślić.
blade pisze: ale żeby określić czy to się \(\displaystyle{ =\RR^3}\) to muszę określić czy są liniowo niezależne - jeśli nie, to usuwam jeden i sprawdzam liniową niezależność dla 3 pozostałych, a jeśli się zgadza to znaczy, że równość jest spełniona.
Tak ?
Żeby określić, wystarczy wskazać trzy dowolne wektory liniowo niezależne, rozpinające \(\displaystyle{ \RR^3}\). Usuwanie najlepiej prowadzić na początku "na oko", tzn "widać, że" wektor "taki a siaki" jest kombinacją "tych".
ODPOWIEDZ