Witam,
Zastanawia mnie coś.
Czy dwa dowolne wektory liniowo niezależne dowolnej przestrzeni wektorowej rozpinają tę przestrzeń?
Pytam, bo potrzebuję tej informacji do postaci Jordana.
Weźmy np. przestrzeń \(\displaystyle{ V = (x,y,y) = span{(1,0,0),(0,1,1)}}\) - przestrzeń rzeczywista. Weźmy teraz dowolne dwa liniowo niezależne wektory z tej przestrzeni np. \(\displaystyle{ (1,1,1),(2,1,1)}}\)
Czy one też rozpinają tę samą przestrzeń? Wolfram mówi, że nie.
Czy dowolne wektory rozpinają przestrzeń?
-
wiedzmac
- Użytkownik
- Posty: 481
- Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sucha/Wrocław
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 62 razy
Czy dowolne wektory rozpinają przestrzeń?
To kłóci się nawet z logiką. Trudno żeby dwa wektory rozpinały np. trójwymiarową przestrzeń.
Więc odpowiedź jest przecząca.
Co do tego wolframa wydaje mi się że coś źle wpisałeś.
W pierwszym przypadku masz \(\displaystyle{ V = lin \left( \left\{ (1,0,0), (0,1, 1)\right\} \right)}\), czyli są tam wektory typu \(\displaystyle{ (a,b,b)}\). W drugim przypadku masz \(\displaystyle{ W = lin \left( \left\{ (1,1,1), (2,1,1) \right\} \right)}\), zatem są w niej wektory \(\displaystyle{ (c+2d, c+d, c+d)}\).
Łatwo zauważyć, że jak weźmiesz wektor dowolny wektor \(\displaystyle{ (a,b,b)}\) to możesz go zapisać jako \(\displaystyle{ (2b-a) (1,1,1) + (a-b) (2,1,1)}\). Analogicznie w drugą stronę każdy wektor \(\displaystyle{ (c+2d, c+d, c+d) = d (1,0,0) + (c+d) (0,1,1)}\). Zatem przestrzenie generowane przez te wektory są równe.
Więc odpowiedź jest przecząca.
Co do tego wolframa wydaje mi się że coś źle wpisałeś.
W pierwszym przypadku masz \(\displaystyle{ V = lin \left( \left\{ (1,0,0), (0,1, 1)\right\} \right)}\), czyli są tam wektory typu \(\displaystyle{ (a,b,b)}\). W drugim przypadku masz \(\displaystyle{ W = lin \left( \left\{ (1,1,1), (2,1,1) \right\} \right)}\), zatem są w niej wektory \(\displaystyle{ (c+2d, c+d, c+d)}\).
Łatwo zauważyć, że jak weźmiesz wektor dowolny wektor \(\displaystyle{ (a,b,b)}\) to możesz go zapisać jako \(\displaystyle{ (2b-a) (1,1,1) + (a-b) (2,1,1)}\). Analogicznie w drugą stronę każdy wektor \(\displaystyle{ (c+2d, c+d, c+d) = d (1,0,0) + (c+d) (0,1,1)}\). Zatem przestrzenie generowane przez te wektory są równe.