Równość dwóch powłok liniowych

[Poszukujaca]

Jak pokazać, że prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ lin \left( v_{1},...,v_{k}+\alpha v_{l},...,v_{m} \right) = lin \left( v_{1},...,v_{k},...,v_{m}\right)}\)

dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le m, \\
1 \le l \le m, \\
k \neq l, \\
\alpha \in K}\)

[wiedzmac]

To są zbiory, więc pokaż zawieranie w dwie strony. Weź element z jednego i pokaż, że należy do drugiego.
A tak dokładniej, to weź pewną kombinację liniową elementów z pierwszego zbioru i pokaż, że można ją wyrazić za pomocą kombinacji liniowej elementów z drugiego zbioru.

[Poszukujaca]

Czy chodzi o takie rozumowanie?

Nasze wątpliwości budzi tylko jeden wektor. Reszta jest identyczna.

\(\displaystyle{ v_{k}+\alpha v_{l}=0 \cdot v_{1}+...+1 \cdot v_{k}+\alpha v_{l}+...+ 0 \cdot v_{m} \Rightarrow v_{k}+\alpha v_{l} \in lin \left( v_{1},...,v_{k},...,v_{m} \right)}\)

Czyli wniosek z tego taki, że dwie powłoki liniowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor z pierwszej powłoki da się jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów z powłoki drugiej I NA ODWRÓT.

Czy to prawda?

[wiedzmac]

No nie bardzo, w sumie może z tego się da wywnioskować rozwiązanie ale mnie to nie przekonuje.
Pokazałaś coś dla jednego wektora a jeszcze jest mnóstwo innych. Zrób to ogólnie dla dowolnej kombinacji liniowej i będzie ok.

[Poszukujaca]

Dla wektorów różnych od \(\displaystyle{ v_{k}, v_{l}}\) zawieranie w obie strony jest trywialne, bo:

\(\displaystyle{ v_{1}=1 \cdot v_{1}+0 \cdot v_{2}+...+0 \cdot v_{m}}\) itd.

Jednak jak pokazać zawieranie \(\displaystyle{ v_{k}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{l}}\) w pierwszej powłoce?

[wiedzmac]

Ale nigdzie jeszcze nie zobaczyłem dowodu dlaczego wektor
\(\displaystyle{ 2v_1 + 512v_2 + 21v_3 + \ldots + 421v_m}\) należy do drugiego zbioru.

Oznaczmy ten drugi zbiór przez \(\displaystyle{ B}\). Nie wiem czy rozumiesz, ale ty nie masz pokazywać, że \(\displaystyle{ v_1 \in B, v_2 \in B, \ldots v_n \in B}\) tylko że dowolna kombinacja liniowa tych wektorów należy do \(\displaystyle{ B}\).

[Poszukujaca]

Ok, rozumiem. Przecież chodzi o wszystkie wektory, które są kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_{1},...,v_{m}}\)

Zatem... \(\displaystyle{ 2v_1 + 512v_2 + 21v_3 + \ldots + 421v_m \in lin \left( v_{1},...,v_{k},...,v_{m}\right)}\) bo \(\displaystyle{ 2v_1 + 512v_2 + 21v_3 + \ldots + 421v_m=2v_1 + 512v_2 + 21v_3 + \ldots + 421v_m}\)

Może to dziwnie zapisałam, ale chodzi o takie rozumowanie..

Najlepiej byłoby to wykazać jakoś ogólnie. Ale jak?

[wiedzmac]

Ok, to zaczynamy od początku.
Przez zbiór \(\displaystyle{ A}\) oznaczmy \(\displaystyle{ lin \left( v_{1},...,v_{k}+\alpha v_{l},...,v_{m} \right) = lin \left( v_{1},...,v_{k},...,v_{m}\right)}\), a przez \(\displaystyle{ B}\) ten drugi. Weźmy dowolny element tego zbioru i oznaczmy go \(\displaystyle{ w}\).

Wtedy \(\displaystyle{ w = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots a_{k-1} v_{k-1} + a_k (v_{k}+\alpha v_{l}) + a_{k+1}v_{k+1} + \ldots a_m v_m}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a_1, a_2 \ldots a_m}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ w \in B}\). Podpowiem, że to nie jest trudne.
Analogicznie trzeba to pokazać w drugą stronę.

[Poszukujaca]

Trzeba po prostu pomnożyć:

\(\displaystyle{ w = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots a_{k-1} v_{k-1} + a_k (v_{k}+\alpha v_{l}) + a_{k+1}v_{k+1} + \ldots a_m v_m=a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots a_{k-1} v_{k-1}+a_k \alpha v_l+a_k v_k+a_{k+1}v_{k+1} + \ldots a_m v_m}\)

[wiedzmac]

Najfajniej byłoby jeszcze zapisać że te współczynniki przy wektorach to jakieś nowe \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots b_m}\) i stąd wynika teza. Analogicznie w drugą stronę i po zadaniu.

Sorry że tak się czepiam, ale lubię mieć porządnie porobione wszystko.

PS: Tam jest błąd. Współczynnik przy \(\displaystyle{ v_l}\) powinien wynosić \(\displaystyle{ a_l + a_k \alpha}\), a przy \(\displaystyle{ v_k}\) po prostu \(\displaystyle{ a_k}\).

[Poszukujaca]

Wektor z \(\displaystyle{ B}\) można ogólnie zapisać:
\(\displaystyle{ u=a_1 v_1 +...+ a_l v_l+...+a_k v_k+...+a_m v_m}\)

oczywiście nie znamy kolejności \(\displaystyle{ v_l, v_k}\) ale dodawanie wektorów jest przemienne, więc chyba można tu przyjąć dowolność.

Tak, wiem o tym. Tylko nie chciało mi się tego tak szczegółowo rozpisywać

[wiedzmac]

No, to jak mamy podane jak wygląda pewien wektor z \(\displaystyle{ B}\) to wystarczy powiedzieć jakie współczynniki będą stać po zapisaniu jako kombinacja liniowa wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ale to z tym sobie chyba już poradzisz.

Ogólnie nie ma tu nic trudnego, takie zwykłe rachunkowe rzeczy.

[Poszukujaca]

Jeszcze mam takie pytanie z teorii bardziej.. Czy jeśli dwie powłoki liniowe są równe, to muszą być one generowane przez taką samą ilość wektorów?

[wiedzmac]

Nie muszą. Wyobraź sobie że jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).
Wtedy wystarczy że weźmiemy \(\displaystyle{ A = \left\{ (1,1), (0,1), (1,0) \right\}}\) i \(\displaystyle{ B = \left\{ (2,0), (0, 2)\right\}}\). Oba zbiory generują te same wektory, ale liczba wektorów w tych zbiorach jest różna.

[Poszukujaca]

Można w ogólności udowodnić, że \(\displaystyle{ x_{n}}\) jest liniową kombinacją wektorów \(\displaystyle{ (x_{1},...,x_{n-1})}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ lin \left( x_{1},...,x_{n}\right) =lin\left( x_{1},...,x_{n-1}\right)}\)?