Równość dwóch powłok liniowych

[wiedzmac]

Implikacja \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest prawdziwa i bardzo łatwo to pokazać (znowu pokazujemy że dwa zbiory są równe, czyli inkluzję w dwie strony).

Twierdzenie \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) też działa. Bo skoro te przestrzenie generowane są równe, to znaczy że dowolnych \(\displaystyle{ a_1, a_2 \ldots a_n}\) istnieją takie \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots b_{n-1}}\), że
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} a_i v_i = \sum_{i=0}^{n-1} b_i v_i}\). Czyli weźmy sobie \(\displaystyle{ a_1 = a_2 = \ldots = a_{n-1} = 0}\) i \(\displaystyle{ a_n = 1}\) i dostaniemy tezę.

[Poszukujaca]

Ok. Super. Spróbuję to jakoś ładnie zapisać:

Najpierw pokazuję \(\displaystyle{ \Rightarrow}\).

Oznaczę sobie: \(\displaystyle{ [x_1,...,x_{n-1}]=\left\{ w_{1} \in X: \exists_{\alpha_{1},...,\alpha_{n-1} \in K}: w_{1}=\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_{i} \circ x_{i} \right\}}\)

\(\displaystyle{ [x_1,...,x_{n}]=\left\{ w_{2} \in X: \exists_{\beta_{1},...,\beta_{n} \in K}: w_{1}=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i} \circ x_{i} \right\}}\)

Muszę pokazać, że \(\displaystyle{ \forall_{w_{1} \in [x_{1},...,x_{n-1}]}: w_{1} \in [x_{1},...,x_{n}]}\) i na odwrót.

\(\displaystyle{ w_1=\alpha_{1} \circ x_{1}+...+\alpha_{n-1} \circ x_{n-1}=\alpha_{1} \circ x_{1}+...+\alpha_{n-1} \circ x_{n-1}+0 \circ x_{n}}\).

Czy z tęgo wynika, że \(\displaystyle{ [x_{1},...,x_{n-1}] \subset [x_{1},...,x_{n}]}\) ?

[wiedzmac]

Tak, jak najbardziej.

[Poszukujaca]

Wydaje mi się, że to samo można zrobić, aby pokazać, że: \(\displaystyle{ \forall_{w_{2} \in [x_{1},...,x_{n}]}: w_{2} \in [x_{1},...,x_{n-1}]}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ w_{2}=\beta_{1} \circ x_{1}+...+\beta_{n-1} \circ x_{n-1}+\beta_{n} \circ x_{n}=\beta_{1} \circ x_{1}+...+\beta_{n-1} \circ x_{n-1}+0 \circ x_{n}}\)

Oczywiście kolejne współczynniki \(\displaystyle{ \beta}\) odpowiadają współczynnikom \(\displaystyle{ \alpha}\)

Zachodzi zawieranie w druga stronę: \(\displaystyle{ [x_{1},...,x_{n-1}] \supset [x_{1},...,x_{n}]}\)

To kończyłoby dowód z prawej na lewą.

Dobrze?

[wiedzmac]

Tak, tylko lepiej po drugiej stronie zapisać coś innego niż \(\displaystyle{ \beta}\) bo to mocno sugeruje że to będą te same liczby.

[Poszukujaca]

Ok.

No to teraz pozostaje dowód w drugą stronę:
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\). Zakładam, że \(\displaystyle{ [x_{1},...,x_{n-1}]=[x_{1},...,x_{n}]}\)

Wtedy \(\displaystyle{ x_{n} \in [x_{1},...,x_{n-1}] \Rightarrow \exists_{\alpha_{1},..,\alpha_{n-1} \in K}: x_{n}=\alpha_{1} \circ x_{1}+...+\alpha_{n-1} \circ x_{n-1}}\)

Czyli \(\displaystyle{ x_{n}}\) jest liniową kombinacją wektorów \(\displaystyle{ (x_{1},...,x_{n-1})}\)