Wyznaczyć macierz ortogonalną \(\displaystyle{ P}\) taką, że \(\displaystyle{ P^T B P}\) jest macierzą diagonalną.
\(\displaystyle{ B= \left| \begin{matrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{matrix}\right|}\)
wartości własne i wektory własne :
\(\displaystyle{ \lambda_1 = 0 ; V_{\lambda_1} = lin\{(1,-2,1)\} \\
\lambda_2 = 6 ; V_{\lambda_2} = lin \{(2,1,0),(-1,0,1)\}}\)
Próbowałem wpisać te wektory jako kolumny, ale wtedy z mojego działania nie dostaję macierzy diagonalnej.. Jak inaczej to zrobić?
Macierz ortogonalna
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Macierz ortogonalna
Musisz te wektory zortonormalizowac wzgledem standardowego iloczynu skalarnego.Macierz przejscia od bazy ortonormalnej do ortonormalnej w standardowym iloczynie skalarnym jest ortogonalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Macierz ortogonalna
Ok, dzięki za odpowiedź
zortonormalizowałem, dostaję takie coś
\(\displaystyle{ e_1 = \frac{(1,-2,1)}{||(1,-2,1)||} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_2 = (2,1,0) + \alpha \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right) /\circ e_1}\)
rozpisuję tę alfę, bo wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\) i coś mi tu nie pasuje
\(\displaystyle{ \alpha = -(2,1,0) \circ \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)} = 0}\)
\(\displaystyle{ w_2 = (2,1,0) \\
e_2 = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right)}\)
Teraz współczynniki liczę już w pamięci :
\(\displaystyle{ w_3 = (-1,0,1) + \frac{2}{\sqrt{6}} \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)}+ \frac{2}{\sqrt{5}}\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right)}\)
\(\displaystyle{ e_3 = \left( \frac{1}{\sqrt{30}} ; \frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{5}{\sqrt{30}}\right)}\)
O ile się nie pomyliłem w obliczeniach to mam bazę ortonormalną \(\displaystyle{ B_o= \left( e_1,e_2,e_3\right) =\left(\left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right);\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right); \left( \frac{1}{\sqrt{30}} ; \frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{5}{\sqrt{30}}\right)\right)}\)
zortonormalizowałem, dostaję takie coś
\(\displaystyle{ e_1 = \frac{(1,-2,1)}{||(1,-2,1)||} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_2 = (2,1,0) + \alpha \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right) /\circ e_1}\)
rozpisuję tę alfę, bo wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\) i coś mi tu nie pasuje
\(\displaystyle{ \alpha = -(2,1,0) \circ \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)} = 0}\)
\(\displaystyle{ w_2 = (2,1,0) \\
e_2 = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right)}\)
Teraz współczynniki liczę już w pamięci :
\(\displaystyle{ w_3 = (-1,0,1) + \frac{2}{\sqrt{6}} \left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right)}+ \frac{2}{\sqrt{5}}\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right)}\)
\(\displaystyle{ e_3 = \left( \frac{1}{\sqrt{30}} ; \frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{5}{\sqrt{30}}\right)}\)
O ile się nie pomyliłem w obliczeniach to mam bazę ortonormalną \(\displaystyle{ B_o= \left( e_1,e_2,e_3\right) =\left(\left( \frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-2}{\sqrt{6}}; \frac{-1}{\sqrt{6}}\right);\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{ \sqrt{ 5}}, 0 \right); \left( \frac{1}{\sqrt{30}} ; \frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{5}{\sqrt{30}}\right)\right)}\)
Hmm.. Czyli jaką mam skonsturować tę macierz przejścia ?leg14 pisze:Macierz przejscia od bazy ortonormalnej do ortonormalnej w standardowym iloczynie skalarnym jest ortogonalna.