Udowodnić, że odwozorwanie jest iloczynem sklaranym

[blade]

Udowodnić, że odwozorwanie jest iloczynem sklaranym w \(\displaystyle{ \RR^2}\)
\(\displaystyle{ v=(v_1,v_2) ; w=(w_1,w_2) \\
g(v,w)=2v_1w_1 + 5v_2w_2}\)
Sprawdzam czy jest dwuliniowe :
\(\displaystyle{ g(\alpha v' + \beta v'',w) = 2\alpha v'_1w_1 + 5\alpha v'_2 w_2 +2\beta v''_1w_1 + 5\beta v''_2 w_2 = \alpha g(v',w) + \beta g(v'',w)\\

g(v,\alpha w' + \beta w'') = 2\alpha v_1 w'_1 + 5\alpha v_2 w'_2 + 2\beta v_1 w''_1 + 5\beta v_2 w''_2 = \alpha g(v,w') + \beta g(v,w'')}\)
Zatem jest dwuliniowe
\(\displaystyle{ g(v,w) = 2v_1w_1 + 5v_2w_2 = 2w_1v_1 + 5w_2v_2 = g(w,v)}\)
jest symetryczne
\(\displaystyle{ \forall_{v\in \RR^2, v\neq \vec{0}} : g(v,v) >0 : \\ g(v,v) = 2v_1^2 + 5v_2^2 >0}\)
spełnione
I jeszcze trzeba pokazać, że jest to forma kwadratowa, ale nigdzie nie mogę znaleźć warunków czy czegoś na formę kwadratową..
Z góry dzięki za pomoc.

[Poszukujaca]

Forma kwadratowa jest wtedy, gdy istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy symetryczny, który ją generuje czyli musi zachodzić: \(\displaystyle{ G(v)=g(v,v)}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest formą kwadratową.-- 6 cze 2015, o 13:22 --A tu piękna definicja formy kwadratowej:

Niech \(\displaystyle{ f: (R^{n})^{2} \rightarrow R}\) będzie formą dwuliniową. Odwzorowanie \(\displaystyle{ g:R^{n} \rightarrow R}\) nazywamy formą kwadratową generowaną przez formę \(\displaystyle{ f}\) (skojarzoną z \(\displaystyle{ f}\)), jeżeli:
\(\displaystyle{ \forall_{f \in R^{n}}: g(v)=f(v,v)}\)

Wybacz kolizję oznaczeń definicji z Twoimi oznaczeniami.

[blade]

Dzięki!
Czyli trzeba wykazać dwuliniowość i symetryczność:>

Mam jeszcze jeden problem mianowicie :
W przestrzeni wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le n}\) okreslono \(\displaystyle{ \varphi(p,q) = \int_{-1}^1p(t)g(t)dt}\).
Udowodnic, ze jest to iloczyn skalarny.
Sprawdzam dwuliniowość (zachodzi, oszczędzę sobie tutaj pisania),
Wykazuje symetryczność : \(\displaystyle{ \varphi(p,q) = \varphi(q,p)}\)
Sprawdzam czy \(\displaystyle{ \forall_{p \in \RR[x]_n, p\neq \vec{0}} : \varphi(p,p) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \varphi(p,p) = \int_{-1}^1p(t)p(t)dt = \int_{-1}^1 p^2(t)dt = ...}\)
ale dalej nie wiem, czy mogę sobi po prostu zrobić :
\(\displaystyle{ ... = \left[ \frac{p^3(t)}{3}\right]_{-1}^1 = \frac{p^3(1) - p^3(-1)}{3}=...}\)
Tutaj pewnie trzeba wykorzystać symetryczność funkcji, ale nie wiem dokładnie czy funkcja jest parzysta, czy może nie parzysta.
Dla parzyste mam : \(\displaystyle{ ...= 0}\) dla nieparzystej z kolei mam : \(\displaystyle{ ...=\frac{2p^3(1)}{3} \ge 0}\) bo argument jest dodatni. Zatem z symetryczności pokazałem, że \(\displaystyle{ \forall_{p \in \RR[x]_n, p\neq \vec{0}} : \varphi(p,p) \ge 0}\)
Dobrze?
PS: Jak znaleźć bazę ortonormalną względem tego iloczynu skalarnego w \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\)?

[Poszukujaca]

Jeszcze nie robiłam przykładów z całkami i iloczynem skalarnym. Według mnie wszystko jest dobrze. Jednak nie mam pojęcia jak pokazać dodatnią określoność tej formy kwadratowej.

Może zerknij jeszcze na linka w wikipedii:

Warto wiedzieć, że forma kwadratowa jest jednorodna stopnia drugiego.

[blade]

Co do

PS: Jak znaleźć bazę ortonormalną względem tego iloczynu skalarnego w \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\)?

To będzie jakoś tak ?
\(\displaystyle{ v_1=(1,1,1)\\
||v_1|| = \sqrt{\int_{-1}^1 (x^2 +x +1)^2 dx} = \sqrt{\frac{22}{5}} \\
e_1 = \left( \frac{5}{\sqrt{110}}, \frac{5}{\sqrt{110}},\frac{5}{\sqrt{110}}\right)}\)
I moja baza to będzie właśnie to \(\displaystyle{ e_1}\).
Czy to byłoby dobrze?