Ortogonalność do podprzestrzeni

[Speed094]

Niech\(\displaystyle{ V=\mathbb R_k[x]}\)oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ k}\) o współczynnikach rzeczywistych z iloczynem skalarnym

\(\displaystyle{ (p,q):= \int_0^1 p(x)q(x)dx.}\)



Wyznacz wszystkie wartosci parametrów \(\displaystyle{ a, b \in R}\), dla których wektor \(\displaystyle{ p=a x^{2}+x+b}\) jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\displaystyle{ R1[x]}\)

Obliczyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ a=-1}\) \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{6}}\). I nie wiem czy jest dobrze bo w poleceniu jest wszystkie wartości parametrów to pewnie powinno być więcej

[Premislav]

To wygląda w porządku. Potrzebna i wystarczająca jest "prostopadłość" wektora \(\displaystyle{ p}\) do wektorów rozpinających \(\displaystyle{ R_{1}[x]}\), np. \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ x}\) - czyli zerowanie się odpowiednich iloczynów skalarnych.
No to mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \int_{0}^{1}(ax^{2}+x+b) \mbox{d}x=0 \\\int_{0}^{1}(ax^{3}+x^{2}+bx)\mbox{d}x=0 \end{cases}}\)

[Speed094]

Więc dobrze zrobiłem dzięki za szybką odpowiedź