Twierdzenie z odwzorowaniem liniowym

[Poszukujaca]

Wykazać, że \(\displaystyle{ f: K \rightarrow K}\) jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni \(\displaystyle{ K(K)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ K(K)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki skalar \(\displaystyle{ c \in K}\). że \(\displaystyle{ f(x)=c \cdot z}\) dla \(\displaystyle{ x \in K}\).

Robię dowód w obie strony.

Z prawej na lewej wychodzi łatwo:
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \exists_{c \in K} \forall_{x \in K}}\) czyli tak naprawdę zakładamy, że odwzorowanie liniowe wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ f(x)=cx}\).
Aby dowieść liniowości wystarczy sprawdzić warunki:
1) \(\displaystyle{ \forall_{x, y \in K}: f(x)+f(y)=f(x+y)}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in K} \forall_{x \in K }:f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x)}\).
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x, y \in K}\) wtedy: \(\displaystyle{ f(x+y)=c(x+y)=cx+cy=f(x)+f(y)}\)
Teraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in K}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(\alpha \cdot x)=c \cdot \alpha x= \alpha \cdot c x= \alpha f(x)}\).

Czy wszystko jest poprawnie? Czy czegoś brakuje?

Natomiast problem pojawia się z dowodem z lewej na prawo. Zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem liniowym. Pomyślałam, że może nie wprost by wyszło, ale ostatecznie nie mogę dojśc do końca dowodu.

[szw1710]

To co piszesz, jest OK. Co do drugiej implikacji zauważ, że \(\displaystyle{ K}\) jest jednowymiarową przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ K}\). Weź więc dowolny wektor \(\displaystyle{ v\ne 0}\), stanowi on bazę. Niech teraz \(\displaystyle{ x\in K}\), więc \(\displaystyle{ x=\alpha v}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in K}\). Co wynika z liniowości?

[Poszukujaca]

Zaraz, zaraz... skąd wiemy, ze wymiar przestrzeni to jeden? Czy dlatego, że mamy określoną przestrzeń \(\displaystyle{ K(K)}\)? Czy wtedy bazą takiej przestrzeni jest każdy wektor \(\displaystyle{ v}\), który do niej należy?

[szw1710]

To wynika z samego określenia tej przestrzeni. Chwilkę pomyśl. To najzwyczajniejsze własności działań w ciele. Bazą jest każdy niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\).

[Poszukujaca]

Nie bardzo wiem jak się ma do tego własność działań w ciele.. W każdym razie wiem. że wymiar przestrzeni to liczba elementów bazy. Wniosek z tego taki, że każdy wektor sam ze sobą jest liniowo niezależny, a gdy mamy przestrzeń jednowymiarową to dowolny wektor z niej tworzy jej bazę.-- 7 cze 2015, o 15:25 --Czy ktoś pomoże z dowodem w druga stronę? Niestety nie mogę sobie z nim poradzić..