Rząd iloczynu Kroneckera macierzy

[xkaarolinaax]

Jeżeli \(\displaystyle{ A \in M_m(\mathbb{K}), B \in M_n(\mathbb{K}),}\) udowodnij, że:

\(\displaystyle{ rz(A\otimes B)=rz(A) \cdot rz(B).}\)

Mam podpowiedź, że mogę skorzystać z takiego faktu:
\(\displaystyle{ (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

W dowodzie tej własności rzędu iloczynu Kroneckera dwóch macierzy, wykorzystamy następujące lematy:

1)
Odwracalność iloczynu Kroneckera dwóch macierzy
\(\displaystyle{ (A^{-1}\otimes B^{-1})(A\otimes B)= I_{n}\otimes I_{m}=I_{m\times n}.}\)

2)
Jeśli \(\displaystyle{ I^{r}_{m\times n }}\) jest macierzą z r elementami na przekątnej różnymi od zera i z zerami poza nią, to dla danej macierzy \(\displaystyle{ A_{m\times n}}\) istnieją odwracalne macierze \(\displaystyle{ P, Q}\) takie, że \(\displaystyle{ PAQ = I^{r}_{m\times n}.}\)

3)
Mnożenie lewo-prawostronne przez odwracalną macierz nie zmienia rzędu danej macierzy
\(\displaystyle{ r(AB) =r(B), r(CA)= r(C).}\)

Dowód

Załóżmy,że rząd macierzy \(\displaystyle{ A_{m\times m}= r}\) i rząd macierzy \(\displaystyle{ B_{n\times n}=s}\).

Wtedy istnieją odwracalne macierze \(\displaystyle{ P_{A}, Q_{A}, P_{B}, Q_{B}}\) takie, że \(\displaystyle{ P_{A}AQ_{A}=I^{r}_{m\times m}}\) i \(\displaystyle{ P_{B}B_{n\times n}Q_{B}= I^{s}_{n\times n}.}\) oraz zachodzi równość
\(\displaystyle{ (P_{A}\otimes P_{B})(A_{m\times m}\otimes B_{n\times n})(Q_{A}\otimes Q_{B})= I^{r}_{m\times m}\otimes I^{s}_{n\times n}.}\)

Macierze \(\displaystyle{ P_{A}\otimes P_{B}, Q_{A}\otimes Q_{B}}\) są odwracalne,
stąd
\(\displaystyle{ r(A_{m\times m}\otimes B_{n\times n}) = r(I^{r}_{m\times m}\otimes I^{s}_{n\times n})= r\cdot s = r(A_{m\times m})\cdot r(B_{n\times n}).}\)
c.n.d.