Macierz dodatnio określona

[rymek94]

Definicja mówi, że dodatniookreślona macierz \(\displaystyle{ A}\) to taka która spełnia:
\(\displaystyle{ x \cdot A \cdot x^{T}>0}\) gdzie\(\displaystyle{ x \neq 0}\), ale pytanie \(\displaystyle{ x}\) nie może być wektorem zerowym czy \(\displaystyle{ x_{i} \neq 0}\) gdzie\(\displaystyle{ i = 1, 2, 3, 4, 5....}\)
??
Tzn idzie mi o to że gdy sprawdzam dodatniookreślność macierzy, to powstaje mi (w przypadku macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) wielomian \(\displaystyle{ 3}\) zmiennych \(\displaystyle{ 2}\) stopnia i nie bardzo potrafię dowieść że jest on ujemny czy dodatni dla dowolnego\(\displaystyle{ x}\), dlatego chciałem popodstawiać jakieś liczby i dowieść że wartość dla danego układu \(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3}\) jest ujemna co pozwoliło mi by zanegować dodatniookreślność tej macierzy, najłatwiej będzie mi to uczynić gdy będę mógł wyzerować pewne składowe wekt \(\displaystyle{ x}\).

[yorgin]

Definicja mówi, że dodatniookreślona macierz \(\displaystyle{ A}\) to taka która spełnia:
\(\displaystyle{ x \cdot A \cdot x^{T}}\) gdzie\(\displaystyle{ x \neq 0}\),

Spełnia co? Ja akurat wiem, ale nie napisałeś tego i powyższe zdanie brzmi bez sensu.

ale pytanie \(\displaystyle{ x}\) nie może być wektorem zerowym czy \(\displaystyle{ x_{i} \neq 0}\) gdzie\(\displaystyle{ i = 1, 2, 3, 4, 5....}\)
??

Tak.

Tzn idzie mi o to że gdy sprawdzam dodatniookreślność macierzy, to powstaje mi (w przypadku macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) wielomian \(\displaystyle{ 3}\) zmiennych \(\displaystyle{ 2}\) stopnia i nie bardzo potrafię dowieść że jest on ujemny czy dodatni dla dowolnego\(\displaystyle{ x}\), dlatego chciałem popodstawiać jakieś liczby i dowieść że wartość dla danego układu \(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3}\) jest ujemna co pozwoliło mi by zanegować dodatniookreślność tej macierzy, najłatwiej będzie mi to uczynić gdy będę mógł wyzerować pewne składowe wekt \(\displaystyle{ x}\).

Określoność macierzy najłatwiej sprawdzić z kryterium Sylvestera lub sprowadzając formę dwuliniową powstałą po wykonaniu działania \(\displaystyle{ x \cdot A \cdot x^{T}}\) do postaci kanonicznej. Jeszcze inaczej - można policzyć wartości własne macierzy. Sprawdzanie określoności z definicji jest... trudne.

[rymek94]

Ok, dzięki już poprawiłem, racja nie napisałem. Dzięki za odpowiedź jednak chciałbym uściślić jeszcze(tak dla pewności). Możliwe że źle zadałem pytanie:
Idzie mi o to czy wektor x może mieć np taką postać:
\(\displaystyle{ \left[ 0 ;0 ;1\right]}\) czy żadna \(\displaystyle{ x_{i}}\) nie może być równa zeru???

[yorgin]

Wektor może mieć niektóre współrzędne zerowe. Ale nie może mieć wszystkich. \(\displaystyle{ [0,0,1]}\) jest więc dobry.

[rymek94]

O to mi chodziło dzięki.